[논문 리뷰] Generalizations of planar contact manifolds to higher dimensions

A. C.U. Bahar, John B. Etnyre외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면 접촉 다양체를 고차원으로 일반화하는 두 가지 방법, 반복 평면 및 사영 접촉 다양체를 제안한다. 이는 임의의 유한형성 군이 3보다 큰 홀수 차원에서 반복 평면 접촉 다양체의 기본군으로 실현될 수 있음을 보이며, 심플렉틱 코브อร督办과 레프셰츠 필라션을 통해 특정 사영 접촉 5차원 다양체에 대한 심플렉틱 캡의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

Iterated planar contact manifolds are a generalization of three dimensional planar contact manifolds to higher dimensions. We study some basic topological properties of iterated planar contact manifolds and discuss several examples and constructions showing that many contact manifolds are iterated planar. We also observe that for any odd integer m > 3, any finitely presented group can be realized as the fundamental group of some iterated planar contact manifold of dimension m. Moreover, we introduce another generalization of three dimensional planar contact manifolds that we call projective. Finally, building symplectic cobordisms via open books, we show that some projective contact manifolds admit explicit symplectic caps.

연구 동기 및 목표

• 반복 평면 및 사영 오픈 북을 사용하여 3차원에서 고차원 홀수 차원으로 평면 접촉 다양체 이론을 확장한다.
• 이 일반화된 접촉 다양체의 위상수학적 및 심플렉틱적 성질을 조사한다.
• 반복 평면 접촉 다양체에 대한 기본군 제약 조건이 존재하는지 규명한다.
• 심플렉틱 코브오르督办과 레프셰츠 필라션을 사용하여 특정 사영 접촉 5차원 다양체에 대해 명시적인 심플렉틱 캡을 구축한다.

제안 방법

• 평면 기저 면을 가진 반복 평면 레프셰츠 필라션을 통해 반복 평면 접촉 다양체를 정의한다.
• 심플렉틱 페이지를 가진 오픈 북 분해를 사용하여 접촉 구조를 지지하고 그 모노드로미를 분석한다.
• 심플렉틱 메르팅의 경계에 손잡이(X × D²)를 부착하여 심플렉틱 코브오르督办을 구성하며, 리우빌 벡터장을 유지한다.
• 모서리 라운딩을 적용하여 리우빌 장이 코브오르督办 구조와 호환되도록 보장한다.
• 심플렉틱 동형 결과(예: Li-Wu, Li-Li-Wu)를 활용하여 모노드로미 사상이 라그랑주 수구상에서의 디엔 투습의 합성과 관련이 있음을 규명한다.
• 지정된 모노드로미를 가진 D² 위의 심플렉틱 레프셰츠 필라션을 구성하여 기존 코브오르督办과 붙여 심플렉틱 캡을 형성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 유한형성 군 G가 차원 m > 3인 반복 평면 접촉 다양체의 기본군으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 반복 평면 접촉 다양체의 심플렉틱 메르팅은 항상 연결된 경계를 가져야 하는가?
• RQ3 어떤 사영 접촉 5차원 다양체가 명시적인 심플렉틱 캡을 갖는가?
• RQ4 페이지가 F = CP²#nCP² (n ≤ 4) 인 심플렉틱 F- bundles over S¹ 의 모노드로미가 심플렉틱 동형으로 디엔 투습의 합성과 동치일 수 있는가?
• RQ5 심플렉틱 코브오르督办이 레프셰츠 필라션 부착을 통해 언제 심플렉틱 캡으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 홀수 차원 m > 3 와 모든 유한형성 군 G에 대해, 기본군이 G인 반복 평면 접촉 (2n+1)-다양체가 존재한다.
• 반복 평면 접촉 다양체의 심플렉틱 메르팅은 반드시 연결된 경계를 가져야 하며, 이는 3차원 결과를 일반화한 것이다.
• 반복 평면 접촉 5차원 다양체는 사영적이다. 즉, 그 웨인스타인 페이지는 어떤 k에 대해 CP²#kCP² 안의 볼록 도메인으로 매립된다.
• 만약 어떤 사영 오픈 북의 페이지가 CP²#nCP² (n ≤ 4) 에 매립된다면, 그 접촉 5차원 다양체는 CP²#nCP² 를 포함하는 심플렉틱 캡을 갖는다.
• F = CP²#nCP² (n ≤ 4) 인 심플렉틱 F-_bundle over S¹ 이 호모로지에 대해 자명하게 작용한다면, 그 모노드로미는 심플렉틱 동형으로 항등사상과 동치이다.
• 라그랑주 수구상에 沿해 심플렉틱 3-핸들을 부착하고 레프셰츠 필라션을 사용함으로써, 심플렉틱 코브오르督办을 접촉 다양체의 심플렉틱 캡으로 확장할 수 있다.