[논문 리뷰] Generalizations of Some Inequalities for the $p$-Gamma, $q$-Gamma and $k$-Gamma Functions

Kwara Nantomah, Edward Prempeh|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 13.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 관련 psi 함수의 급수 표현을 사용하여 $p$-Gamma, $q$-Gamma, $k$-Gamma 함수에 대한 기존 부등식을 일반화한다. 이는 특정 지수-비율 함수들이 엄격히 증가함을 증명함으로써, $t \in (0,1)$에서 Krasniqi, Shabani, 및 Nantomah의 이전 결과를 개선한 부등식을 도출한다. 원래의 부등식들은 매개변수를 1로 설정했을 때 특수한 경우로 복원된다.

ABSTRACT

In this paper, we present and prove some generalizations of some inequalities for the $p$-Gamma, $q$-Gamma and $k$-Gamma functions. Our approach makes use of the series representations of the psi, $p$-psi, $q$-psi and $k$-psi functions.

연구 동기 및 목표

• 문헌 [4], [2], 및 [7]에서 수립된 원래의 경계를 초월하여 $p$-, $q$-, 및 $k$-Gamma 함수에 대한 기존 부등식을 일반화하는 것.
• 각각의 psi 함수에 대한 급수 표현을 바탕으로 한 공통의 분석적 프레임워크를 통해 이러한 일반화된 Gamma 함수들을 통합적으로 다루는 것.
• Gamma 함수의 거듭제곱 비율이 엄격히 증가하는 데 필요한 조건을 확립하여 보다 날카롭고 일반적인 부등식을 가능하게 하는 것.
• 매개변수를 1로 설정했을 때 Krasniqi 등과 Nantomah의 원래 부등식을 특수한 경우로 복원하는 것.

제안 방법

• 기존 적분 및 곱셈 정의를 사용하여 $p$-, $q$-, 및 $k$-psi 함수에 대한 급수 표현을 유도한다.
• 매개변수 $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$, $k$, $p$, 및 $q$를 포함한 고전적 psi 함수와 일반화된 psi 함수의 가중 조합을 포함하는 함수적 프레임워크를 도입한다.
• Gamma 함수 및 일반화된 Gamma 함수의 지수-비율 변환으로서 보조 함수 $\Omega(t)$, $\phi(t)$, 및 $\theta(t)$를 정의한다.
• 급수 수렴성과 양성 논증을 사용하여 $a\gamma + b\ln p + a\psi(t) - b\psi_p(t)$ 및 $q$- 및 $k$-경우에 대한 유사한 형태의 핵심 표현의 양성 여부를 증명한다.
• 로그 미분의 부호 분석과 미분을 통한 $\Omega(t)$, $\phi(t)$, 및 $\theta(t)$의 단조성 확립.
• 로그 미분의 단조성을 적용하여 $t \in (0,1)$에 대해 이중 부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문헌 [4]에서의 $p$-Gamma 함수 부등식은 $a = b = \beta = 1$의 경우를 초월하여 일반화될 수 있는가?
• RQ2 매개변수 $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$가 양수일 때 $q$-Gamma 및 $k$-Gamma 함수에 대해 유사한 일반화가 성립하는가?
• RQ3 고전적 및 일반화된 Gamma 함수를 포함하는 비율 함수의 단조성 행동을 포괄하는 통합된 분석적 프레임워크가 존재하는가?
• RQ4 문헌 [4], [2], 및 [7]에서의 원래 부등식들이 새로운 일반화의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ5 구성된 비율 함수의 단조성에 필요한 및 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $\Omega(t) = \frac{p^{b\beta t}e^{a\beta\gamma t}\Gamma(\alpha+\beta t)^a}{\Gamma_p(\alpha+\beta t)^b}$는 $a, b, \alpha, \beta > 0$ 및 $\alpha + \beta t > 1$일 때 $t \in (0, \infty)$에서 엄격히 증가하므로, 식 (17)에 제시된 일반화된 부등식을 이끌어낸다.
• 함수 $\phi(t) = \frac{(1-q)^{-b\beta t}e^{a\beta\gamma t}\Gamma(\alpha+\beta t)^a}{\Gamma_q(\alpha+\beta t)^b}$는 $a, b, \alpha, \beta > 0$, $q \in (0,1)$, 및 $\alpha + \beta t > 1$일 때 $t \in (0, \infty)$에서 엄격히 증가하므로, 식 (19)에 제시된 일반화된 부등식을 이끌어낸다.
• 함수 $\theta(t) = \frac{(\alpha+\beta t)^{a-b}e^{t(\frac{ka\beta\gamma - b\beta\gamma}{k})}\Gamma(\alpha+\beta t)^a}{k^{-\frac{b\beta t}{k}}\Gamma_k(\alpha+\beta t)^b}$는 $a \geq b > 0$, $k \geq 1$, 및 $\alpha + \beta t > 0$일 때 $t \in (0, \infty)$에서 비감소하므로, 식 (21)에 제시된 일반화된 부등식을 이끌어낸다.
• 매개변수 $a = b = \beta = 1$일 때, 식 (17), (19), 및 (21)의 부등식은 각각 문헌 [4], [2], 및 [7]에서의 원래 부등식으로 정확히 축소되며, 일관성과 일반화를 확인한다.
• Gamma 함수의 psi 함수 급수 표현을 통해 $\Omega$, $\phi$, 및 $\theta$의 로그 미분의 양성 여부가 입증되어 비율 함수의 단조성이 보장된다.