[논문 리뷰] Generalize Heisenberg Groups and Self-Duality

Marco Bonatto, Dikran Dikranjan|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중심이 원군 𝕋와 동형인 국소적으로 컴acts한 Mumford 군과 일반화된 Heisenberg 군 사이의 정확한 대응을 확립하며, 이러한 조건 하에서 이들이 정확히 Mackey-Weil 군과 일치함을 보여준다. 이는 유한군 위의 심플렉틱 자기 dualities가 이러한 군으로 올라가며, 코homological 조건을 통해 Mumford 군이 일반화된 Heisenberg 군이 되지 않는 조건을 규명함으로써 핵심 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

This paper compares two generalizations of Heisenberg groups and studies their connection to one of the major open problems in the field of locally compact abelian groups, namely the description of the self-dual locally compact abelian groups ([12]). The first generalization is presented by the so called generalized Heisenberg groups $\mathbb{H}(ω)$, defined in analogy with the classical Heisenberg group and the second one is inspired by the construction proposed by Mumford in [16] and named after him as Weyl-Mumford groups (WM groups). These two families can be defined also in the framework of topological groups. We investigate the relationship between locally compact WM groups, locally compact Generalized Heisenberg with center isomorphic to $\mathbb{T}$ and symplectic self-dualities.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 Heisenberg 군 ℍ(ω)과 Mumford 군이라는 두 Heisenberg 군의 일반화 사이의 관계를 명확히 하기.
• 중심이 𝕋와 동형인 국소적으로 컴팩트한 Mumford 군이 일반화된 Heisenberg 군과 동형인 조건을 조사하기.
• 국소적으로 컴팩트한 아벨 군의 자기 dual 성질을 분류하는 열린 문제를 심플렉틱 자기 dualities와 군의 확장과 연결함으로써 해결하기.
• 중심이 𝕋인 Mumford 군 중 일반화된 Heisenberg 군과 동형이 되지 않는 것이 존재하는지, 코homological 장벽을 통해 규명하기.

제안 방법

• 연속적인 이중선형 사상 ω: E × F → A 를 통해 아벨 군 E, F, A 의 중심 확장을 일반화된 Heisenberg 군 ℍ(ω)로 정의한다.
• Mumford 군은 2차 낮은 군이며, Mumford 사상 M: G/Z(G) → Hom(G/Z(G), Z(G)) 가 위상적 동형사상이 되는 군으로 정의한다.
• 교환자 사상과 Pontryagin dual을 이용해, 위상적 Mumford 사상 M_t 와 K = G/Z(G) 위의 심플렉틱 자기 dualities ∇ 사이의 표준적 동형을 수립한다.
• 코homological 기법을 사용하여, M_t(x)(y) = −γ(x,−x) − γ(y,−y) + γ(−x,−y) + γ(x,y) + γ(−x−y,x+y) 의 공식을 통해 M_t 를 연속 코chain γ: K × K → 𝕋 로 표현한다.
• φ: A × Â → K 이며 φ(x,f) = x, φ(y,g) = y 를 만족하는 동형사상 φ 를 통해 표준 자기 dualities (K, ∇) 를 특성화한다.
• 문헌 [22] 의 결과를 적용하여, 모든 유한 심플렉틱 자기 dualities 가 일반화된 Heisenberg 군으로부터 유도됨을 보이고, 이를 통해 일반화된 Heisenberg 군이 아닌 Mumford 군을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심이 𝕋 와 동형인 국소적으로 컴팩트한 Mumford 군 G 가 일반화된 Heisenberg 군 ℍ(ω) 와 동형인가?
• RQ2 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 K 위의 심플렉틱 자기 dualities (K, ∇) 는 중심이 𝕋 와 동형인 국소적으로 컴팩트한 군 G 의 위상적 Mumford 사상으로 나타나는가?
• RQ3 중심이 𝕋 인 Mumford 군 중 일반화된 Heisenberg 군과 동형이 되지 않는 것이 존재하는가?
• RQ4 코chain γ: K × K → 𝕋 에 대한 어떤 코homological 조건이, 관련된 군 확장 G 가 M_t = ∇ 를 만족함을 보장하는가?

주요 결과

• 중심이 𝕋 와 동형인 국소적으로 컴팩트한 Mumford 군 G 는 위상적 Mumford 사상 M_t 가 K = G/Z(G) 위의 심플렉틱 자기 dualities 라면, 일반화된 Heisenberg 군과 동형이다.
• 중심이 𝕋 인 국소적으로 컴팩트한 Mumford 군 중 일반화된 Heisenberg 군인 군들의 집합은 정확히 LCA 군 E 에 대해 ℍ(E) 로 표현되는 Mackey-Weil 군들의 집합과 일치한다.
• 유한군 K 에 대해, 모든 심플렉틱 자기 dualities (K, ∇) 는 일반화된 Heisenberg 군의 Mumford 사상으로서 나타나며, 따라서 이러한 군들은 𝕋 로의 확장으로 존재한다.
• 어떤 LCA 군 A 에 대해 K ≇ A × Â 를 만족하는 심플렉틱 자기 dualities (K, ∇) 가 존재하면, 이는 중심이 𝕋 이지만 일반화된 Heisenberg 군이 아닌 Mumford 군의 존재를 암시한다.
• Z(G) ≅ 𝕋 인 N₂ 군 G 의 Mumford 사상 M_t 는 연속 코chain γ 를 포함한 코homological 공식으로 주어지며, M_t = ∇ 이기 위한 조건은 코chain γ 가 특정 다항식 항등식을 만족함을 의미한다.
• 코homological lifting 을 통한 이러한 군의 구성은, 질문 7.5 에 대한 답이 양의일 경우 질문 7.3 에 대한 답이 양의일 경우에 새로운 비-Heisenberg Mumford 군의 집합을 확인함으로써 확인된다.