[논문 리뷰] Generalized almost periodic and generalized asymptotically almost periodic type functions in Lebesgue spaces with variable exponents $L^{p(x)}$

Toka Diagana, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 14.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변수 지수 Lebesgue 공간 $L^{p(x)}$ 내에서 일반화된 거의 평균적 및 점 渐진적으로 거의 평균적 함수를 도입하여, 고전적 거의 평균성의 이론을 확장하는 새로운 $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수의 클래스를 수립한다. 저자들은 이러한 함수의 핵심 성질을 증명하고, 바나흐 공간 내에서 추상적 볼테라 적분미분방정식 및 분수미분방정식의 해의 존재성과 정성적 행동을 입증하는 데 응용한다.

ABSTRACT

In the paper under review, we introduce the notions of various types of generalized (asymptotical) almost periodicity with variable exponents. We define and thoroughly analyze an important subclass of (asymptotically) Stepanov almost periodic functions which contains all (asymptotically) almost periodic functions. We provide a great number of relevant applications to abstract Volterra integro-differential equations in Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 변수 지수 Lebesgue 공간 $L^{p(x)}$로 거의 평균성 이론을 확장하는 것.
• 새로운 $S^{p(x)}$-거의 평균적 및 점 渐진적으로 $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수의 클래스를 정의하고 분석하는 것.
• 바나흐 공간 내에서 추상적 볼테라 적분미분방정식 및 분수미분방정식의 해의 존재성과 유계성에 대한 충분조건을 수립하는 것.
• 변수 지수를 통합하여 고전적 거의 평균성 결과를 일반화하고, $L^{p(x)}$-프레임워크에 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 구간 $[0,1]$에서 변수 지수 $p(x)$를 갖는 스텝노프 유형 노름을 사용하여 $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수를 정의한다.
• $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수가 고전적 $S^p$-거의 평균적 함수를 일반화하고 모든 거의 평균적 함수를 포함함을 증명한다.
• $1/p(x) + 1/q(x) = 1$ 조건을 만족하는 $L^{q(x)}[0,1]$에서의 컨볼루션 구조 및 해소류 가족 $(R(t))_{t>0}$의 성질을 활용한다.
• 일반화된 함수 공간 프레임워크를 적용하여 적분방정식을 통한 추상 코시 문제의 온전한 해를 분석한다.
• 편항 항의 수렴 조건을 $L^{r_1(x)}[0,1]$ 및 $L^{r_2(x)}[0,1]$에서 확보하여 점근적 행동을 보장한다.
• 다중값 선형 연산자 이론과 열화된 해소류 가족을 활용하여 추상 미분포함수를 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 거의 평균성 개념을 변수 지수 Lebesgue 공간 $L^{p(x)}$ 내 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수와 고전적 $S^p$-거의 평균적 함수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 추상적 볼테라 적분미분방정식의 해가 $S^{p(x)}$-의미에서 점 渐진적으로 거의 평균적인가?
• RQ4 이 이론은 캄프루 또는 와이러-리우빌 도함수를 갖는 분수미분방정식에 적용될 수 있는가?
• RQ5 해소류 가족을 포함하는 컨볼루션 적분의 수렴 조건은 변수 지수 노름에서 어떤가?

주요 결과

• 모든 거의 평균적 함수는 임의의 $p(x) \in \mathcal{P}([0,1])$에 대해 $S^{p(x)}$-거의 평균적이고, 모든 $S^{p(x)}$-거의 평균적 함수는 스텝노프 1-거의 평균적이다.
• 함수 $H(t) = \int_0^t R(t-s)f(s)\,ds$ 는 $R(\cdot)$ 및 $q(s)$의 적분 가능성과 감쇠 조건 하에 잘 정의되고 유계적이며, $APS^{p(x)}(\mathbb{R}:X) + S^{r_1(x)}_0([0,\infty):X) + S^{r_2(x)}_0([0,\infty):X)$에 속한다.
• $\|T(\cdot)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ 이고 $k \geq 1$일 때 $\|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq Me^{-ck}$ 이면, $\sum_{k=0}^\infty \|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ 가 성립하여 주요 명제의 적용 가능성을 보장한다.
• $\gamma \in (0,1)$ 이면 해소류 가족 $R_\gamma(t)$ 는 $\|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq M_2 k^{-1-\gamma}$ 를 만족하므로 $\sum_{k=0}^\infty \|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ 이고, 이는 프로포지션 5.1의 적용 가능성을 보장한다.
• 분수 릴랙세이션 포함 (DFP)$_{f,\gamma}$ 의 온전한 해 $u(t) = S_\gamma(t)x_0 + \int_0^t R_\gamma(t-s)f(s)\,ds$ 는 잘 정의되고, 외력 항 $f$ 로부터 점근적 행동을 물려받는다.
• 프로포지션 5.3는 [20, 프로포지션 2.13]을 변수 지수로 일반화하여, $L^{p(x)}$-공간에서 유한한 컨볼루션 곱의 하위 클래스가 안정적임을 보여준다.