[논문 리뷰] Generalized bent functions and their Gray images

Thor Martinsen, Wilfried Meidl외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 04.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℤ₂ⁿ에서 ℤ₂ᵏ로의 값을 갖는 일반화된 밴드함수(gbent functions)가 항상 정규임을 입증하고, ℤ₁₆에서의 gbent 및 반반밴드함수(semibent functions)를 완전히 특성화한다. 또한 ℤ₈ 또는 ℤ₁₆에서의 gbent 함수의 그레이 이미지가 반반밴드함수 또는 3-플래토 수준임을 증명하며, ℤ₄ 및 ℤ₈에서의 기존 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that generalized bent (gbent) functions defined on $\mathbb{Z}_2^n$ with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are regular, and find connections between the (generalized) Walsh spectrum of these functions and their components. We comprehensively characterize generalized bent and semibent functions with values in $\mathbb{Z}_{16}$, which extends earlier results on gbent functions with values in $\mathbb{Z}_4$ and $\mathbb{Z}_8$. We also show that the Gray images of gbent functions with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are semibent/plateaued when $k=3,4$.

연구 동기 및 목표

• k ≥ 2에 대해 ℤ₂ᵏ로의 값을 갖는 일반화된 밴드함수(gbent functions)의 정규성을 확립하기 위해.
• 그들의 구성 부울 함수에 기반하여 ℤ₁₆에서의 gbent 및 반반밴드함수를 체계적으로 특성화하기 위해.
• ℤ₄ 및 ℤ₈에서의 기존 gbent 함수 결과를 ℤ₁₆의 경우로 확장하기 위해.
• gbent 함수의 그레이 이미지의 성질, 특히 그 밴드성 및 플래토 수준성에 대해 연구하기 위해.
• 스펙트럼 분석을 통해 구성 함수를 기반으로 한 gbentness의 필요 및 충분 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 주파수 성분에서 크기가 2ⁿ/²인 상수인 함수로 일반화된 월리스-하다마드 변환을 정의함으로써 gbent 함수를 정의한다.
• 스펙트럼 분해를 적용하여 gbent 함수를 구성 부울 함수 aᵢ: ℤ₂ⁿ → ℤ₂로 표현한다.
• 재귀적 분해 기법을 사용하여 ℤ₂ᵏ에서의 gbentness를 ℤ₂ᵏ⁻¹에서의 gbentness와 연결한다.
• 쌍대 변환의 곱의 허수부를 분석하여 gbentness에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 일반화된 그레이 사상 ψ를 적용하여 ℤ₂ᵏ에 있는 함수를 ℤ₂ⁿ⁺ᵏ⁻¹에 있는 부울 함수로 변환한다.
• 일반화된 그레이 사상에서 하밍 거리의 불변성을 이용하여 이미지에서의 구조적 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 2일 때 ℤ₂ᵏ로의 값을 갖는 모든 일반화된 밴드함수는 반드시 정규인가?
• RQ2 f ∈ ℤ₁₆ⁿ이 gbent이기 위한 필요 및 충분 조건은 그 구성 부울 함수 a₁, ..., a₄에 대해 무엇인가?
• RQ3 일반화된 월리스-하다마드 변환의 스펙트럼 성질은 ℤ₁₆에서 함수의 gbentness와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 ℤ₈ 또는 ℤ₁₆에서 gbent 함수의 그레이 이미지의 성격은 무엇인가?
• RQ5 ℤ₂ᵏ에서의 gbentness는 구성 요소 함수를 ℤ₂ᵏ⁻¹에서의 gbentness를 통해 재귀적으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 일반화된 밴드함수 f: ℤ₂ⁿ → ℤ₂ᵏ는 정규이며, 월리스-하다마드 변환의 크기가 |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/²이고, ℋ_f(u) = 2ⁿ/²ζ_q^{f*(u)}를 만족하는 어떤 쌍대 함수 f*가 존재한다.
• k = 4(즉, ℤ₁₆로의 값을 갖는 경우)에 대해, 구성 부울 함수 a₁, ..., a₄에 기반하여 gbent 및 반반밴드함수를 완전히 특성화한다.
• ℤ₈에서의 gbent 함수의 그레이 이미지는 반반밴드함수이며, ℤ₁₆에서의 gbent 함수의 그레이 이미지는 3-플래토 수준이다.
• ℤ₂ᵏ에서의 gbent 함수 f의 일반화된 월리스-하다마드 변환은 모든 u ∈ ℤ₂ⁿ에 대해 |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/²를 만족하며, 이 성질은 일반화된 그레이 사상에서도 유지된다.
• 함수 f = h + 2ᵏ⁻²g in ℤ₂ᵏ은 h 및 h + 2ᵏ⁻²g가 ℤ₂ᵏ⁻¹에서 gbent이면서, 그들의 변환 곱의 허수부가 0이면 정규로 gbent이다.
• 이전의 ℤ₄ 및 ℤ₈에서의 gbent 함수 결과를 일반화하여 고차수 gbent 함수를 위한 체계적인 프레임워크를 제공한다.