[논문 리뷰] Generalized Bombieri - Lagarias' theorem and generalized Li's criterion

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 30.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리의 기준과 보미에르-라가리아스 정리의 리만 가설에 대한 일반화를 리만 시타-함수의 임의의 실수 점 a ≠ 1/2에서 중심을 두고 하는 합과 도함수의 가족을 도입하여 수행한다. 이는 비음성성(1/2보다 작은 a에 대해) 또는 비양성성(1/2보다 큰 a에 대해)의 일반화된 도함수들이 리만 가설과 동치임을 증명하며, 원래 기준을 z=1을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

We show that Li's criterion equivalent to the Riemann hypothesis, viz. the statement that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-1/rho)^n) over Riemann xi-function zeroes as well as all derivatives lambda_n= (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n(z^(n-1)*ln(xi(z))_(z=1)), where n=1, 2, 3..., should be non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true, can be generalized and the non-negativity of certain derivatives of the Riemann xi-function estimated at an arbitrary real point a, except a=1/2, can be used as a criterion equivalent to the Riemann hypothesis. Namely, we demonstrate that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-((rho-a)/(rho+a-1))^n) for any real a not equal to 1/2 as well as the derivatives (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n((z-a)^(n-1)*ln(xi(z))_(z=(1-a))), n=1, 2, 3... for any a<1/2 are non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true (correspondingly, the same derivatives when a>1/2 should be non-positive for this). Similarly to Li's one, the theorem of Bombieri and Lagarias applied to certain multisets of complex numbers, is also generalized along the same lines.The results presented here are now available as a paper in Ukrainian Math. J., 64, 371-383, 2014.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설과 관련된 특정 합의 음성성 조건이 비트라이비얼 제타 제로에 대해 성립하는 리의 기준을 z=1을 초월하여 임의의 실수 점 a ≠ 1/2로 확장하는 것.
• 복소수 다중집합에 대한 보미에르-라가리아스 정리를 리만 시타-함수와 임의의 이동 매개변수 a의 맥락으로 일반화하는 것.
• 리만 가설의 진위 여부가 z = 1−a에서의 리만 시타-함수 특정 도함수의 부호에 의해 결정됨을 증명하는 것: a < 1/2일 경우 음성성, a > 1/2일 경우 비양성성.
• 실수 매개변수 a ≠ 1/2로 매개화된 연속적인 등가 조건의 가족을 도입하여 기존의 리만 가설 기준을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 실수 a ≠ 1/2에 대해 비트라이비얼 제타 제로 ρ에 대한 합 k_n(a) = ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n] 을 정의한다.
• n = 1,2,3,…에 대해 z = 1−a에서의 도함수 λ_n(a) = (n−1)!^−1 × d^n/dz^n [(z−a)^{n−1} ln ξ(z)] 를 정의한다.
• a < 1/2일 경우, 모든 n ≥ 1에 대해 λ_n(a)의 음성성이 리만 가설과 동치임을 증명한다.
• a > 1/2일 경우, 모든 n ≥ 1에 대해 λ_n(a)의 비양성성이 리만 가설과 동치임을 보인다.
• 리만 시타-함수의 성질과 해석적 계속성을 이용하여 일반화된 기준의 정의역을 확장한다.
• 복소해석학 및 스펙트럼 이론의 기법을 적용하여 도함수의 부호와 비트라이비얼 제로의 위치 사이의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설에 대한 리의 기준을 z=1을 초월하여 임의의 실수 매개변수 a ≠ 1/2로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 리만 시타-함수의 도함수를 z = 1−a에서 평가한 임의의 a ≠ 1/2에 대해 리만 가설과 동치인 조건의 가족이 존재하는가?
• RQ3 다양한 a 값에 대해 일반화된 도함수 λ_n(a)의 부호는 리만 가설의 진위와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 보미에르-라가리아스 정리는 임의의 실수 a ≠ 1/2에 대해 이동된 제로로 정의된 다중집합으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 a ≠ 1/2에 대해 리만 가설을 특징짓는 일반화된 합 k_n(a)의 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 실수 a < 1/2에 대해, 리만 가설은 모든 n ≥ 1에 대해 일반화된 도함수 λ_n(a)가 음성임과 동치이다.
• 모든 실수 a > 1/2에 대해, 리만 가설은 모든 n ≥ 1에 대해 일반화된 도함수 λ_n(a)가 비양성임과 동치이다.
• 합 k_n(a) = ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n] 이 정의되며, 이는 리만 가설이 참일 때와 동치로 모든 n ≥ 1에 대해 음성이다.
• 일반화된 도함수의 부호와 리만 가설 사이의 동치성은 모든 실수 a ≠ 1/2에 대해 성립하며, 연속적인 등가 조건의 가족을 제공한다.
• 결과는 리의 기준과 보미에르-라가리아스 정리를 일반화하며, 그 정의역을 임의의 실수 이동 매개변수 a ≠ 1/2로 확장한다.
• 논문은 임계선 ℜ(s) = 1/2이 이러한 일반화된 불변량의 부호 행동에 의해 특징지어짐을 증명하며, 제타 함수의 제로를 연구하는 데 새로운 분석 도구를 제공한다.