[논문 리뷰] Generalized bornological coarse spaces and coarse motivic spectra

Daniel Heiss|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단일 점이 유계여야 한다는 공리 조건을 완화시켜 일반화된 보른로지컬 코arse 공간을 도입하며, 고전적 보른로지컬 코arse 공간의 범주를 확장하는 완전하고 코완전인 범주를 구성한다. 포함 함자(functor)가 모티빅 코arse 스펙트럼과 따라서 모든 C-계량 코arse 호모로지 이론에 대해 동치를 유도함을 증명하여, 호모토피 이론적 목적을 위해 일반화된 프레임워크가 고전적 프레임워크와 카테고리적으로 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

We generalize the notion of a bornology by omitting the condition that a one-point-subset is bounded and obtain a complete and co-complete generalization of the category of bornological coarse spaces. Then we imitate the construction of motivic coarse spectra in this new setting and show that the inclusion functor from the category of bornological coarse spaces to its generalization induces an equivalence of motivic coarse spectra. In particular, for any stable co-complete $\infty$-category $C$, it induces an equivalence between the category of $C$-valued coarse homology theories on bornological coarse spaces and the category of $C$-valued coarse homology theories on generalized bornological coarse spaces.

연구 동기 및 목표

• 고전적 보른로지컬 코arse 공간의 범주가 완전성과 코완전성을 갖지 못하는 데 대응하기 위해.
• 단일 점이 유계여야 한다는 조건을 제거하여 보른로지컬 코arse 공간의 개념을 일반화하기 위해.
• 완전하고 코완전인 새로운 일반화된 보른로지컬 코arse 공간의 범주를 구성하기 위해.
• 고전적 공간에서 일반화된 공간으로의 포함 함자가 모티빅 코arse 스펙트럼과 호모로지 이론에 대해 동치를 유도함을 확립하기 위해.
• 코어스 호모로지 이론과 모티빅 스펙트럼 이론이 이 일반화 하에 동치로 유지됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 보른로지컬의 공리에서 단일 점 부분집합이 유계여야 한다는 조건을 생략하여 일반화된 보른로지컬 코arse 공간을 정의한다.
• 새로운 범주의 $\Gamma$-동차 일반화로 $\bm{\Gamma}\widetilde{\text{B}}\text{ornCoarse}$ 범주를 구성한다.
• 한정과 코한정의 명시적 구성 방법을 사용하여 $\bm{\Gamma}\widetilde{\text{B}}\text{ornCoarse}$가 완전하고 코완전임을 증명한다.
• 예비층의 국소화와 안정화를 통해 일반화된 모티빅 코arse 스펙트럼 $\bm{\Gamma}\text{S}\widetilde{\text{p}}\bm{\mathcal{X}}$를 정의한다.
• 함수 $U: \bm{\Gamma}\text{BornCoarse} \to \bm{\Gamma}\widetilde{\text{B}}\text{ornCoarse}$가 모든 한정과 코한정을 유지함을 보인다.
• she프 범주와 국소화 및 안정화의 보편 성질을 포함하는 등가 사슬을 통해 $\infty$-범주 간의 동치 $\bm{\Gamma}\text{S}\widetilde{\text{p}}\bm{\mathcal{X}} \simeq \bm{\Gamma}\text{S}\text{p}\bm{\mathcal{X}}$를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 점이 유계여야 한다는 조건을 생략하면 보른로지컬 코arse 공간의 합리적인 일반화가 되는가?
• RQ2 일반화된 보른로지컬 코arse 공간의 범주는 완전하고 코완전한가?
• RQ3 일반화된 범주와 고전적 범주 간의 모티빅 코arse 스펙트럼은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 고전적 공간에서 일반화된 공간으로의 포함 함자가 모티빅 코arse 스펙트럼에 대해 동치를 유도하는가?
• RQ5 모든 안정적이고 코완전인 $\infty$-범주 $\mathcal{C}$에 대해, 일반화된 범주에서의 코어스 호모로지 이론이 고전적 범주와 동치인가?

주요 결과

• $\bm{\Gamma}\widetilde{\text{B}}\text{ornCoarse}$는 일반화된 $\Gamma$-동차 보른로지컬 코arse 공간의 범주로서 완전하고 코완전하다.
• 함수 $U: \bm{\Gamma}\text{BornCoarse} \to \bm{\Gamma}\widetilde{\text{B}}\text{ornCoarse}$는 모든 한정과 코한정을 유지한다.
• 포함 함자가 일반화된 및 고전적 모티빅 코arse 스펙트럼 간에 $\infty$-범주 동치 $\bm{\Gamma}\text{S}\widetilde{\text{p}}\bm{\mathcal{X}} \simeq \bm{\Gamma}\text{S}\text{p}\bm{\mathcal{X}}$를 유도한다.
• 모든 안정적이고 코완전인 $\infty$-범주 $\mathcal{C}$에 대해, 포함 함자가 고전적 범주와 일반화된 범주 간의 $\mathcal{C}$-계량 코어스 호모로지 이론에 대해 동치를 유도한다.
• 등가 사슬은 she프 범주와 국소화 및 안정화의 보편 성질을 포함한다.
• 결과적으로 이 일반화된 프레임워크는 코어스 호모로지 이론을 확장하지는 않지만, 더 편리한 카테고리적 기초를 제공한다.