[논문 리뷰] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth

El Hassan Essaky, M. Hassani|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 성장 조건을 갖는 y에 대해 일반 성장, z에 대해 확률적 이차 성장을 갖는 드라이버를 가진 일차원 일반화된 역방향 확률미분방정식(GRBSDE)에 대해 두 개의 반사 경계를 갖는 최대 해의 존재성을 약한 조건 하에 확립한다. 종료 조건은 측정 가능할 뿐이며, P-적분 가능성 또는 Mokobodski 조건을 요구하지 않는다. 지수 변환과 절단 기법을 사용하여, 기존 결과를 다이닝 게임 및 미국 게임 옵션과 같은 더 넓은 적용 분야로 확장한다.

ABSTRACT

We study the existence of a solution for a one-dimensional generalized backward stochastic differential equation with two reflecting barriers (GRBSDE for short) under assumptions on the input data which are weaker than that on the current literature. In particular, we construct a maximal solution for such a GRBSDE when the terminal condition ξis only F_T-measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P-integrability conditions. The work is suggested by the interest the results might have in Dynkin game problem and American game option.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌보다 더 약한 조건 하에서 두 개의 반사 경계를 갖는 일반화된 역방향 확률미분방정식(GRBSDE)의 해 존재성을 확립하는 것.
• 드라이버 f에 대한 표준 요구 조건을 완화하여, y에 대한 일반 성장과 z에 대한 확률적 이차 성장을 允許하면서도 입력 데이터의 P-적분 가능성 조건을 가정하지 않는 것.
• 바riers L과 U에 대한 Mokobodski 조건이 필요 없도록 하여, 그 대신 그 사이에 순반사다중과정(semimartingale)이 존재한다는 더 약한 조건으로 대체하는 것.
• GRBSDE의 적용 가능성을 확장하여, 특히 다이닝 게임과 미국 게임 옵션과 같은 확률적 제어 및 게임 이론 금융 분야에 활용하는 것.
• 일반 조건 하에서 비교 정리를 제공하여 해의 유일성과 순서성(ordering)을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 원래 GRBSDE를 더 다룰 수 있는 계수를 갖는 보조 GRBSDE로 변환하기 위해 지수 변환을 적용하는 것.
• 약한 적분 가능성과 성장 조건 하에서 보조 GRBSDE의 해를 구성하기 위해 절단과 근사 기법을 사용하는 것.
• 신중한 경로 기반 및 확률론적 추론을 통해 원래 GRBSDE와 변환된 GRBSDE의 해 간의 동치성을 확립하는 것.
• 순반사다중과정 경계와 계수의 지배성 조건을 포함한 일반 가정 하에서 GRBSDE에 대한 비교 정리를 활용하는 것.
• z에 대한 확률적 이차 성장을 다루기 위해 Girsanov 변환과 지수 마르티ン갈 기법을 활용하는 것.
• 해 과정 Y가 하한 경계 L과 상한 경계 U 사이에 항상 존재해야 하며, 이는 특이 국소시간 측도 K⁺와 K⁻에 의해 보장된다는 사실을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드라이버 f가 y에 대해 일반 성장, z에 대해 확률적 이차 성장을 갖는 경우, 입력 데이터의 P-적분 가능성 조건을 가정하지 않고도 두 개의 반사 경계를 갖는 GRBSDE에 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 바riers L과 U에 대한 Mokobodski 조건을, 그 사이에 순반사다중과정이 존재한다는 더 약한 조건으로 대체할 수 있는가?
• RQ3 종료 조건 ξ가 반드시 제곱-integrable가 아니더라도, F_T-측정 가능일 경우 최대 해의 존재성이 유지되는가?
• RQ4 일반 성장 조건 하에서 드라이버의 리프시츠 연속성 조건 없이도 GRBSDE에 대해 비교 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ5 드라이버 f가 (y,z)에 대해 연속이지만 균일 리프시츠가 아닐 경우 해는 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 드라이버 f가 y에 대해 일반 성장, z에 대해 확률적 이차 성장을 갖는 조건 하에서, 입력 데이터에 대한 어떤 P-적분 가능성 조건도 요구하지 않고 두 개의 반사 경계를 갖는 GRBSDE에 대해 최대 해가 존재한다.
• Mokobodski 조건이 필요 없이, 바riers L과 U 사이에 순반사다중과정이 존재한다는 더 약한 조건 하에서도 존재 결과가 성립한다.
• 원래 GRBSDE를 등가의 보조 GRBSDE로 변환하는 지수 변환을 통해 해를 구성한다. 이 보조 GRBSDE는 더 규칙적인 계수를 갖는다.
• 이 방법은 드라이버와 경계의 절단 및 근사화를 바탕으로 하며, 타이트성과 수렴 추론을 이용한 극한 취득 과정을 포함한다.
• 일반 가정 하에서 비교 정리가 확립되어, 입력 조건이 지배 조건을 만족할 경우 해당 해들도 거의 확실하게 동일한 순서를 갖는다.
• 모든 t ∈ [0,T]에 대해 Y_t ∈ [L_t, U_t]를 만족하며, 국소시간 측도 K⁺와 K⁻가 경계에서의 반사 조건을 보장한다.