[논문 리뷰] Generalized Budgeted Submodular Set Function Maximization

Francesco Cellinese, Gianlorenzo D’Angelo외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 원소 비용이 할당된 박스에 따라 달라지는 일반화된 예산 제약 하에 부분순서 함수 최적화 문제인 일반화된 예산 제약 하의 서브모듈라 집합 함수 최대화(GBSM) 문제를 제안한다. 저자들은 1/2(1 − 1/e^α)-근사 비율을 달성하는 근사 알고리즘을 제시하며, 특수 케이스에서는 α = 1 − ϵ, 일반적인 경우 α = 1 − 1/e − ϵ를 갖는다. 또한 예산 배수 β > 1을 허용하는 이중 기준 알고리즘을 확장하여 1/2 근사 비율에 근접한 성능을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we consider a generalization of the well-known budgeted maximum coverage problem. We are given a ground set of elements and a set of bins. The goal is to find a subset of elements along with an associated set of bins, such that the overall cost is at most a given budget, and the profit is maximized. Each bin has its own cost and the cost of each element depends on its associated bin. The profit is measured by a monotone submodular function over the elements. We first present an algorithm that guarantees an approximation factor of $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^α} ight)$, where $α\leq 1$ is the approximation factor of an algorithm for a sub-problem. We give two polynomial-time algorithms to solve this sub-problem. The first one gives us $α=1- ε$ if the costs satisfies a specific condition, which is fulfilled in several relevant cases, including the unitary costs case and the problem of maximizing a monotone submodular function under a knapsack constraint. The second one guarantees $α=1-\frac{1}{e}-ε$ for the general case. The gap between our approximation guarantees and the known inapproximability bounds is $\frac{1}{2}$. We extend our algorithm to a bi-criterion approximation algorithm in which we are allowed to spend an extra budget up to a factor $β\geq 1$ to guarantee a $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^{αβ}} ight)$-approximation. If we set $β=\frac{1}α\ln \left(\frac{1}{2ε} ight)$, the algorithm achieves an approximation factor of $\frac{1}{2}-ε$, for any arbitrarily small $ε>0$.

연구 동기 및 목표

• 예산 제약 하에 최대 커버리지 및 서브모듈라 최적화 문제의 새로운 일반화를 체계화하고 연구하기 위해.
• 원소 비용이 할당된 박스에 따라 달라지는 조건 하에서 박스와 원소를 함께 선택하는 문제에 대해, 복합 예산 제약 조건을 고려한 도전 과제를 해결하기 위해.
• 이 일반화된 환경에서 다항 시간 내 근사 알고리즘을 설계하고, 성능 보장이 입증된 알고리즘을 제시하기 위해.
• 이 새로운 모델에서 알려진 비근사 가능성 한계와 달성 가능한 근사 비율 사이의 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 매번 커버되지 않은 원소의 부분집합과 그에 관련된 박스를 선택하여 마진 간익 대비 비용 비율을 최대화하는 근사 알고리즘을 제안한다.
• 근사 비율 α를 달성하는 하위 문제 해결기를 도입하며, 두 가지 변형이 있다: 특정 비용 조건(예: 단위 비용, 배낭 제약)을 만족하는 경우 α = 1 − ϵ을 달성하고, 일반적인 경우 α = 1 − 1/e − ϵ을 달성한다.
• 예산 배수 β ≥ 1를 허용하는 이중 기준 근사 프레임워크를 활용하여 근사 비율을 향상시킨다.
• 각 반복에서 원소와 박스의 유망한 조합을 효율적으로 탐색하기 위해 层수 리스트 구조(α-리스트)를 사용한다.
• 서브모듈라성과 비용 비율 분석을 적용하여 이론적 근사 보장을 1/2(1 − 1/e^α)로 유도한다.
• 예산 제약 조건을 요인 β로 완화함으로써 알고리즘을 이중 기준 버전으로 확장하며, 1/2(1 − 1/e^{αβ})-근사 비율을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 박스에 의존하는 원소 비용을 갖는 일반화된 예산 제약 하의 서브모듈라 최대화 문제는 상수 요소 근사 비율 내에서 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 기존의 비근사 가능성 한계를 고려할 때, 이 일반화된 모델에서 달성 가능한 최고의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 근사 알고리즘은 복합 비용 제약 조건 하에서 박스와 원소의 공동 선택을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ4 예산 완화를 통한 이중 기준 접근법은 임의의 ϵ > 0에 대해 근사 비율을 1/2에 근접하게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 근사 비율의 1/2 요소는 본질적인가, 아니면 부분 순열과 같은 고급 기법을 통해 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 하위 문제 해결기의 근사 비율 α에 따라 1/2(1 − 1/e^α)-근사 비율을 달성한다.
• 특정 비용 조건(예: 단위 비용 또는 배낭 제약)을 만족하는 일련의 인스턴스에 대해 하위 문제 해결기는 α = 1 − ϵ을 달성하며, 이에 따라 1/2(1 − 1/e^{1−ϵ})-근사 비율을 달성한다.
• 일반적인 경우 하위 문제 해결기는 α = 1 − 1/e − ϵ을 달성하며, 이에 따라 1/2(1 − 1/e^{1−1/e−ϵ})-근사 비율을 달성한다.
• 예산이 요인 β ≥ 1로 완화될 경우 이중 기준 알고리즘이 1/2(1 − 1/e^{αβ})-근사 비율을 달성한다.
• β = 1/(α ln(1/(2ϵ)))로 설정하면, 임의의 매우 작은 ϵ > 0에 대해 1/2 − ϵ 근사 비율을 달성할 수 있다.
• 알고리즘은 O(1/ϵ · m · gr(n) · log(k/ĉ)) 시간 내에 실행되며, 여기서 gr(n)은 근사 최대 커버리지 서브루틴의 실행 시간이다.