[논문 리뷰] Generalized cluster states from Hopf algebras: non-invertible symmetry and Hopf tensor network representation

Zhian Jia|arXiv (Cornell University)|2024. 05. 15.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힉프 대수를 사용하여 클러스터 상태를 일반화한 구조를 제안한다. 여기서 양자 다중도(qudit) 자유도는 힉프 대수 값을 갖는 다중도로 대체된다. 일반화된 파울리 연산자를 정규 작용과 표현 작용을 통해 정의함으로써, 비가역 대칭을 실현하고 1차원 힉프 클러스터 상태에 대해 갭이 있는 해밀토니안을 구성한다. 이는 준1차원 힉프 양자 듀얼 모델과 동치임을 보여주며, 비가역 전역 대칭을 갖는 새로운 종류의 대칭 보호 위상(SPT)을 확립한다.

ABSTRACT

Cluster states are crucial resources for measurement-based quantum computation (MBQC). It exhibits symmetry-protected topological (SPT) order, thus also playing a crucial role in studying topological phases. We present the construction of cluster states based on Hopf algebras. By generalizing the finite group valued qudit to a Hopf algebra valued qudit and introducing the generalized Pauli-X operator based on the regular action of the Hopf algebra, as well as the generalized Pauli-Z operator based on the irreducible representation action on the Hopf algebra, we develop a comprehensive theory of Hopf qudits. We demonstrate that non-invertible symmetry naturally emerges for Hopf qudits. Subsequently, for a bipartite graph termed the cluster graph, we assign the identity state and trivial representation state to even and odd vertices, respectively. Introducing the edge entangler as controlled regular action, we provide a general construction of Hopf cluster states. To ensure the commutativity of the edge entangler, we propose a method to construct a cluster lattice for any triangulable manifold. We use the 1d cluster state as an example to illustrate our construction. As this serves as a promising candidate for SPT phases, we construct the gapped Hamiltonian for this scenario and provide a detailed discussion of its non-invertible symmetries. We demonstrate that the 1d cluster state model is equivalent to the quasi-1d Hopf quantum double model with one rough boundary and one smooth boundary. We also discuss the generalization of the Hopf cluster state model to the Hopf ladder model through symmetry topological field theory. Furthermore, we introduce the Hopf tensor network representation of Hopf cluster states by integrating the tensor representation of structure constants with the string diagrams of the Hopf algebra, which can be used to solve the Hopf cluster state model.

연구 동기 및 목표

• 유한군을 초월하여 클러스터 상태를 일반화하기 위해, 다중도 자유도의 기초 대수적 구조로 힉프 대수를 사용하는 것.
• 일반화된 파울리 연산자를 정의하기 위해 정규 작용과 기약 표현 작용을 사용하여 힉프 다중도의 일관된 이론을 개발하는 것.
• 구축된 힉프 클러스터 상태에서 비가역 대칭이 어떻게 나타나는지 보여주는 것.
• 1차원 힉프 클러스터 상태에 대해 갭이 있는 해밀토니안을 구성하고, 이가 준1차원 힉프 양자 듀얼 모델과 동치임을 입증하는 것.
• 구조 상수의 텐서 표현과 힉프 대수의 스트링 다이어그램을 조합하여 힉프 텐서 네트워크 표현을 도입하는 것.

제안 방법

• 유한군 값을 갖는 다중도를 힉프 대수 값을 갖는 다중도로 대체하여 힉프 다중도를 정의하고, 일반화된 파울리-X 연산자에 대해 정규 작용을, 일반화된 파울리-Z 연산자에 대해 기약 표현 작용을 사용하는 것.
• 이중 클러스터 그래프에서 정규 작용에 기반한 엣지 얽힘을 구성하고, 짝수 정점에는 항등원 상태, 홀수 정점에는 자명한 표현 상태를 할당하는 것.
• 모든 삼등분 가능한 다양체 위에 일관된 엣지 순서와 정점 할당 체계를 사용하여 클러스터 격자를 구성함으로써 엣지 얽힘의 가환성을 확보하는 것.
• 이웃한 사이트에 작용하는 일반화된 파울리 연산자들의 곱으로서 안정자 항목을 식별함으로써 1차원 힉프 클러스터 상태의 갭이 있는 해밀토니안을 유도하는 것.
• 해밀토니안 매핑과 대칭 분석을 통해 1차원 힉프 클러스터 상태 모델과 준1차원 힉프 양자 듀얼 모델 간의 동치성을 확립하는 것.
• 구조 상수의 텐서 표현을 텐서 네트워크에 코딩하고, 위상적 불변성을 확보하기 위해 스트링 다이어그램 형식과 조합함으로써 힉프 텐서 네트워크 표현을 도입하는 것.

Figure 2: An example of cluster lattice on a torus $\mathbb{T}^{2}$ . We first create a cellulation of $\mathbb{T}^{2}$ and regard the vertices as odd vertices (depicted as red vertices in the figure). An orientation is assigned to each edge. Then, for each edge, we add an even vertex (represented a

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 힉프 대수를 기초 대수적 구조로 사용하여, 유한군을 초월한 클러스터 상태를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비가역 대칭은 힉프 클러스터 상태에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 힉프 대수의 대수적 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ3 1차원 힉프 클러스터 상태에 대해 갭이 있는 해밀토니안을 구성할 수 있는가? 이는 비가역 전역 대칭을 갖는 대칭 보호 위상(SPT)을 실현하는가?
• RQ4 1차원 힉프 클러스터 상태와 준1차원 힉프 양자 듀얼 모델 간의 해밀토니안 구조와 위상적 순서 측면에서의 관계는 무엇인가?
• RQ5 구조 상수의 대수적 특성과 위상적 특성을 모두 코딩할 수 있는 체계적인 방식으로 힉프 텐서 네트워크 표현을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 힉프 대수 위에서 정규 작용과 표현 작용을 통해 힉프 다중도를 구성함으로써, 시스템 내에서 비가역 대칭이 자연스럽게 유도됨을 보여줌.
• 삼등분 가능한 다양체 위에 격자를 구성함으로써 클러스터 상태 구성에서 엣지 얽힘의 가환성을 확보함으로써 일관된 상태 준비가 가능해짐.
• 1차원 힉프 클러스터 상태 해밀토니안이 준1차원 힉프 양자 듀얼 모델과 동치임을 입증함으로써 기존의 위상적 양자장 이론과 연결됨.
• 1차원 힉프 클러스터 상태는 비가역 전역 대칭을 갖는 대칭 보호 위상(SPT)을 실현하며, 이는 Rep(D₈)의 융합 분야로 기술되며 최근의 비가역 대칭 결과와 일관됨.
• 구조 상수의 텐서 표현과 스트링 다이어그램을 조합함으로써 힉프 텐서 네트워크 표현이 확립되었으며, 이는 상태에 대한 다이어그램적이고 대수적으로 일관된 프레임워크를 제공함.
• 모델은 유한군 기반 클러스터 상태를 일반화하고, 힉프 대수를 통해 비가역 대칭으로의 프레임워크 확장을 가능하게 하여 이전에 알려진 바보다 더 넓은 SPT 위상의 범주를 제공함.

Figure 3: The Hopf tensor network for a one dimensional Hopf cluster state.