[논문 리뷰] Generalized (co)homology of the loop spaces of classical groups and the universal factorial Schur $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 54인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적 군의 순환 공간의 일반화된 (코)homology를 통해 보편 계승 팩터리얼 스르 P- 및 Q-함수의 위상적 실현을 대칭 함수와 라자드 링의 형식군 법칙을 이용해 제시한다. 아이반프와 이카다-나루세의 팩터리얼 스르 함수의 보편적 동반체를 도입하고, L-초대칭 성질 하에서 형식적 기저를 이룬다는 것을 증명하며, 보편 코시 항등식을 통해 쌍대 함수를 구성함으로써 일반화된 호모로지 이론에서 호프 대수의 쌍대성을 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we study the generalized (co)homology Hopf algebras of the loop spaces on the infinite classical groups, generalizing the work due to Kono-Kozima and Clarke. We shall give a description of these Hopf algebras in terms of symmetric functions. Based on topological considerations in the first half of this paper, we then introduce a universal analogue of the factorial Schur $P$- and $Q$-functions due to Ivanov and Ikeda-Naruse. We investigate various properties of these functions such as the cancellation property, which we call the $\mathbb{L}$-supersymmetric property, the factorization property, and the vanishing property. We prove that the universal analogue of the Schur $P$-functions form a formal basis for the ring of functions with the $\mathbb{L}$-supersymmetric property. By using the universal analogue of the Cauchy identity, we then define the dual universal Schur $P$- and $Q$-functions. We describe the duality of these functions in terms of Hopf algebras.

연구 동기 및 목표

• 무한 고전군(Sp, SO, SU)의 루프 공간의 일반화된 (코)homology 호프 대수를 대칭 함수의 관점에서 기술하기.
• 라자드 링 상에서의 보편적 팩터리얼 스르 P- 및 Q-함수의 동반체를 도입하여 아이반프와 이카다-나루세의 구성들을 일반화하기.
• 보편 함수에 대한 기본 성질—L-초대칭성, 인수분해, 소멸, 안정성—을 확립하기.
• 보편 스르 P-함수들이 L-초대칭 조건 하에서 대칭 함수의 링에서 형식적 기저를 이룬다는 것을 증명하기.
• 보편 코시 항등식을 통해 보편 쌍대 스르 P- 및 Q-함수를 정의하고, 이들의 호프 대수 쌍대성 기술하기.

제안 방법

• 일반화된 (코)homology 이론과 보트 주기성을 이용하여 Sp, SO, SU의 루프 공간 호모로지/코호몰로지가 대칭 함수 링과 연결됨을 규명하기.
• 형식군 법칙 매개변수 b를 가진 라자드 링 L 상에서 보편 계승 팩터리얼 스르 함수 P_L^λ(x|b) 및 Q_L^λ(x|b)를 구성하기.
• 형식군 법칙 상의 취소 조건으로서 L-초대칭성 성질을 정의하여 대칭 함수에서의 초대칭성을 일반화하기.
• 보편 코시 항등식을 적용하여 쌍대 함수 bp_L^λ(y) 및 bq_L^λ(y)를 정의하고, 보편 P- 및 Q-함수 간의 쌍대성을 확립하기.
• 엄격 분할과 이동된 양의 도형에 대한 웨일 군 작용을 이용하여 역전치 집합과 오일러 특수화를 기술하기.
• 형식 B∞, C∞, D∞에 대한 대수적 국소화 사상들을 활용하여 보편 함수를 코호몰로지 상의 고전적 스르 함수와 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전군의 루프 공간의 일반화된 (코)homology는 어떻게 대칭 함수로 기술될 수 있는가?
• RQ2 라자드 링과 형식군 법칙의 맥락에서 팩터리얼 스르 P- 및 Q-함수의 보편적 성질은 무엇인가?
• RQ3 보편 스르 P-함수의 동반체는 L-초대칭 조건 하에서 대칭 함수의 링에서 형식적 기저를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 보편 스르 P- 및 Q-함수는 보편 코시 항등식을 통해 어떻게 쌍대 함수와 연결되는가?
• RQ5 루프 공간 코호몰로지 맥락에서 오일러 특수화 ∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)의 위상적 및 대수적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• E-호모로지와 E-코호몰로지에서 ΩSp 및 Ω₀SO는 각각 라자드 링 상의 스르 P- 및 Q-함수의 링과 동형이다.
• 보편 계승 팩터리얼 스르 P-함수 P_L^λ(x|b)는 L-초대칭 성질을 만족하며, 이는 초대칭 함수에서의 취소 행동을 일반화한다.
• 정리 4.7에 의해, L-초대칭 조건 하에서 보편 스르 P-함수는 대칭 함수의 링에서 형식적 기저를 이룬다.
• Q_L^λ(x|b)에 대해 내용 기반 항들을 포함하는 형식군 법칙에 기반한 인수분해 공식이 확립되었다.
• 쌍대 보편 함수 bp_L^λ(y) 및 bq_L^λ(y)는 보편 코시 항등식을 통해 정의되었으며, 이들의 호프 대수적 구조는 보편 P- 및 Q-함수의 것과 쌍대임이 입증되었다.
• 식 (55)에 의해, 오일러 특수화 ∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)는 보편 계승 팩터리얼 스르 Q-함수 Q_L^λ(b_λ|b)와 일치한다.