[논문 리뷰] Generalized covariation for Banach valued processes and Itô formula

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 11.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에 값이 있는 확률과정을 위한 일반화된 공분산과 이차변동의 개념을 도입한다. 이는 바나흐 공간들의 프로젝티브 텐서곱의 이중공간을 활용한 쌍대성 기반 프레임워크를 사용하며, 미티에빌-펠라우말 및 딩쿠레아누 접근법을 확장하여 새로운 공분산 클래스인 'Γ-공분산'을 정의한다. 이는 윈도우 과정에 적용되며, 이중공간이 완전히 사용될 경우 표준 이차변동을 복원한다. 이는 확장된 이토 공식을 통해 더 넓은 범주의 반마르팅글 타입 과정을 분석할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

This paper concerns the notion of quadratic variation and covariation for Banach valued processes and related Ito formula. If X and Y take respectively values in Banach spaces B1 and B2 (denoted by (B1ˆ �B2) � ) andis a suitable subspace of the dual of the projective tensor product of B1 and B2 we define the so-called �-covariation of X and Y. If X = Y the �-covariation is called �-quadratic variation. The notion of �-quadratic variation is a natural generalization of the one introduced by Metivier-Pellaumail and Dinculeanu which is too restrictive for many applications. In particular, if � is the whole space (B1ˆ �B1) � then the �-quadratic variation coincides with the quadratic variation of a B1-valued semimartingale. We evaluate the �-covariation of various processes for several examples ofwith a particular attention to the case B1 = B2 = C(( �,0)) for some � > 0 and X and Y being window processes. If X is a real process, we call window process associated with X the C(( �,0))-valued process X := X(·) defined by Xt(y) = Xt+y, where y 2 ( �,0). (2010 Math Subject Classification: ) 60G05, 60G07, 60G22, 60䠰5, 60䠹9.

연구 동기 및 목표

• 메티에빌-펠라우말 및 딩쿠레아누의 제한적인 프레임워크를 초월하여 바나흐 공간에 값이 있는 과정에 대한 이차변동과 공분산의 개념을 일반화하는 것.
• 바나흐 공간 B1과 B2의 프로젝티브 텐서곱의 이중공간의 적절한 부분공간을 사용하여 새로운 공분산 클래스인 'Γ-공분산'을 정의하는 것.
• 이 일반화된 공분산 프레임워크를 사용하여 바나흐 공간에 값이 있는 반마르팅글 과정에 적용 가능한 이토 공식을 수립하는 것.
• B1 = B2 = C((−T,0)) 이고 X, Y가 실수값 과정일 때 윈도우 과정의 Γ-공분산을 분석하는 것.
• 특히 무한차원 설정에서의 구체적인 확률과정에 이 프레임워크의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 바나흐 공간 B1과 B2의 프로젝티브 텐서곱의 이중공간의 부분공간 Γ를 사용하여 두 바나흐 공간에 값이 있는 과정 X와 Y의 Γ-공분산을 정의한다.
• Γ와 프로젝티브 텐서곱 사이의 쌍대성 페어링을 사용하여 고전적 이차변동을 일반화하는 일반화된 브라켓 과정을 정의한다.
• 윈도우 과정에 이 프레임워크를 적용하며, 여기서 X는 실수값 과정이고 윈도우 과정은 Xt(y) = Xt+y (y ∈ (−T,0))로 정의되며, C((−T,0))에 값을 갖는다.
• Γ가 프로젝티브 텐서곱 B1ˆ �B2의 전체 이중공간일 경우, Γ-이차변동이 B1-값을 갖는 반마르팅글 과정의 표준 이차변동과 일치하는 조건을 확립한다.
• Γ-공분산에 기반한 바나흐 공간에 값이 있는 반마르팅글 과정을 위한 이토 공식을 유도하며, 고전적 이토 공식을 무한차원 설정으로 일반화한다.
• 특히 C((−T,0))에서 연속적 및 càdlàg 과정의 경우에 대해 구체적인 예시에서 Γ-공분산을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 프레임워크의 제한을 초월하여 바나흐 공간에 값이 있는 과정에 대한 이차변동의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 프로젝티브 텐서곱의 이중공간이 서로 다른 바나흐 공간에 있는 과정에 대해 의미 있는 공분산을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이중공간이 완전히 활용될 경우 Γ-공분산이 어떻게 고전적 이차변동을 복원하는가?
• RQ4 기본 과정이 실수값일 경우 C((−T,0))에서 윈도우 과정의 일반화된 공분산은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이 일반화된 공분산 프레임워크를 사용하여 바나흐 공간에 값이 있는 반마르팅글 과정에 대해 이토 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• Γ-공분산은 특히 Γ가 프로젝티브 텐서곱 B1ˆ �B1의 전체 이중공간일 경우 바나흐 공간에 값이 있는 반마르팅글 과정에 대한 고전적 이차변동을 일반화한다.
• C((−T,0))에서 윈도우 과정의 경우 Γ-공분산은 무한차원 공간에서 경로 기반의 변동성을 분석할 수 있는 실용적인 프레임워크를 제공한다.
• Γ가 전체 이중공간일 경우 표준 이차변동을 복원하므로, 기존 결과와의 일致성을 검증한다.
• Γ-공분산에 기반한 이토 공식은 고전적 확률미적분을 바나흐 공간에 값이 있는 과정으로 확장하며, 무한차원에서의 스트로복틱 적분과 미분을 가능하게 한다.
• 윈도우 과정 구조를 통해 비마르코프 및 경로의존적 설정에서도 공분산 평가가 가능하다.
• 이 방법은 연속적 및 비연속적 반마르팅글 과정 모두에 적용 가능하여 바나흐 공간에서의 확률분석의 범위를 넓힌다.