[논문 리뷰] Generalized degrees and densities for families of sets

Emanuel Knill|arXiv (Cornell University)|1994. 11. 08.

Mathematical Approximation and Integration인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 집합의 가족에 대한 일반화된 차수와 밀도를 도입하여, 구조적 제약 조건 하에서 국소적으로 k-넓은 가족(각 원소가 최대 k개의 집합에 포함됨)의 크기에 대한 선형 상계를 수립한다. 중심화된 국소적으로 k-넓은 가족이 만족하는 |F| ≤ (k+1)(n−k/2)라는 날카로운 상계를 증명하고, 반순서집합과 반순서집합의 부분집합인 반격자에 대한 밀도 프레임워크를 개발하여 유니온-폐쇄된 집합의 추측을 일반화하며, 특정 격자에 대한 밀도 성질을 증명한다.

ABSTRACT

Let F be a family of subsets of {1,2,...,n}. The width-degree of an element x in at least one member of F is the width of the family {U in F | x in U}. If F has maximum width-degree at most k, then F is locally k-wide. Bounds on the size of locally k-wide families of sets are established. If F is locally k-wide and centered (every U in F has an element which does not belong to any member of F incomparable to U), then |F| <= (k+1)(n-k/2); this bound is best possible. Nearly exact bounds, linear in n and k, on the size of locally k-wide families of arcs or segments are determined. If F is any locally k-wide family of sets, then |F| is linearly bounded in n. The proof of this result involves an analysis of the combinatorics of antichains. Let P be a poset and L a semilattice (or an intersection-closed family of sets). The P-size of L is |L^P|. For u in L, the P-density of u is the ratio |[u)^P|/|L^P|. The density of u is given by the [1]-density of u. Let p be the number of filters of P. L has the P-density property iff there is a join-irreducible a in L such that the P-density of a is at most 1/p Which non-trivial semilattices have the P-density property? For P=[1], it has been conjectured that the answer is: "all" (the union-closed sets conjecture). Certain subdirect products of lower-semimodular lattices and, for P=[n], of geometric lattices have the P-density property in a strong sense. This generalizes some previously known results. A fixed lattice has the [n]-density property if n is large enough. The density of a generator U of a union-closed family of sets L containing the empty set is estimated. The estimate depends only on the local properties of L at U. If L is generated by sets of size at most two, then there is a generator U of L with estimated density at most 1/2.

연구 동기 및 목표

• 표준 조합론적 설정을 초월하여 집합 가족 내 차수와 밀도의 개념을 일반화하기.
• 중심화 조건 하에서 국소적으로 k-넓은 가족의 크기에 대한 날카로운 선형 상계를 수립하기.
• 반순서집합과 반격자에 대해 P-밀도 프레임워크를 도입하여 유니온-폐쇄된 집합의 추측을 확장하기.
• 특히 크기가 2 이하인 집합들에 의해 생성되는 유니온-폐쇄된 가족에서 생성자의 밀도를 분석하기.
• 다양한 반순서집합 P(예: [1] 및 [n])에 대해 어떤 반격자와 격자가 P-밀도 성질을 만족하는지 규명하기.

제안 방법

• 원소의 넓이-차수를 그 원소가 포함된 집합의 최대 수로 정의하여 국소적으로 k-넓은 가족의 개념을 도입한다.
• 반격자 L에서 원소의 P-크기와 P-밀도를 정의함으로써, 반순서집합 P에 대해 밀도 측정을 일반화한다.
• 비내림차순 집합 조합론과 필터 구조를 활용하여 국소적으로 k-넓은 가족의 최대 크기를 분석한다.
• 가족이 중심화되어 있고 국소적으로 k-넓다면, 그 크기가 (k+1)(n−k/2) 이하임을 증명하고 등호가 성립할 수 있음을 보인다.
• 하향-반모듈라 및 기하학적 격자의 부분직적곱 중 일부가 강한 의미에서 P-밀도 성질을 만족함을 확립한다.
• 국소적인 구조적 성질을 이용하여 유니온-폐쇄된 가족에서 생성자의 밀도를 추정하며, 크기가 ≤2인 집합들에 의해 생성되는 경우 어떤 생성자라도 밀도가 ≤1/2임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 {1,…,n}의 부분집합들로 이루어진 중심화된 국소적으로 k-넓은 가족의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ2 비자명한 반격자 중 주어진 반순서집합 P에 대해 P-밀도 성질을 만족하는 것은 무엇인가?
• RQ3 모든 유한 격자가 충분히 큰 n에 대해 [n]-밀도 성질을 만족하는가?
• RQ4 유니온-폐쇄된 가족에서 생성자의 밀도를 그 생성자 주변의 국소적 정보만으로 상계할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 차수와 밀도는 어떻게 유니온-폐쇄된 집합의 추측과 관련된 극값 집합 이론 문제를 확장하는가?

주요 결과

• 집합 {1,…,n}의 부분집합들로 이루어진 중심화된 국소적으로 k-넓은 가족 F의 크기는 최대 (k+1)(n−k/2)이며, 이 상계는 날카로운 것이다.
• 호 또는 선분의 국소적으로 k-넓은 가족에 대해 n과 k에 대한 거의 정확한 선형 상계가 확립되어 선형 성장의 확인이 이루어졌다.
• 하향-반모듈라 격자와 기하학적 격자의 일부 부분직적곱은 특히 P=[n]일 때 P-밀도 성질을 만족한다.
• 모든 고정된 유한 격자는 충분히 큰 모든 n에 대해 [n]-밀도 성질을 만족한다.
• 크기가 2 이하인 집합들에 의해 생성되는 유니온-폐쇄된 가족에서, 국소적 구조만으로 추정할 수 있는 생성자가 밀도 ≤1/2를 만족한다.
• [1]-밀도 성질은 모든 유니온-폐쇄된 가족에 대해 성립할 것이라 추측되며, 이는 유니온-폐쇄된 집합의 추측을 일반화한다.