[논문 리뷰] Generalized dendrifom algebras and typed binary trees

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 27.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유형 집합 Ω 위에서 작용하는 네 가지 연산을 사용하여 유형이 부여된 이진 트리 위에 정의된 일반화된 비결합 대수적 구조인 Ω-다이엔드로이드 대수를 소개한다. 이는 매칭 및 패밀리 다이엔드로이드 대수를 통합하고 일반화한다. 이러한 구조가 네 가지 공리(EDS 공리)를 만족하는 확장된 이이소시아티브 반군(extended diassociative semigroup, EDS)으로부터 유도됨을 입증하며, 유형이 부여된 트리와 단어 위에 자유 대수를 구성하고, 관련된 오페라드의 코스졸 쌍대성을 증명하며, 다이엔드로이드 대수의 복합체를 명시적으로 기술하는 복합체를 제공한다.

ABSTRACT

We here both unify and generalize nonassociative structures on typed binary trees, that is to say plane binary trees which edges are decorated by elements of a set $Ω$. We prove that we obtain such a structure, called an $Ω$-dendriform structure, if $Ω$ has four products satisfying certain axioms (EDS axioms), including the axioms of a diassociative semigroup. This includes matching dendriform algebras introduced by Zhang, Gao and Guo and family dendriform algebras associated to a semigroup introduced by Zhang, Gao and Manchon , and of course dendriform algebras when $Ω$ is reduced to a single element. We also give examples of EDS, including all the EDS of cardinality two; a combinatorial description of the products of such a structure on typed binary trees, but also on words; a study of the Koszul dual of the associated operads; and considerations on the existence of a coproduct, in order to obtain dendriform bialgebras.

연구 동기 및 목표

• 유형이 부여된 이진 트리 위에서 매칭 및 패밀리 다이엔드로이드 대수를 통합하고 일반화하기 위해, 더 넓은 비결합 대수의 클래스를 도입한다.
• 유형 집합 Ω 위에서 작용하는 네 가지 연산을 사용하여 Ω-다이엔드로이드 대수를 정의하며, 이는 새로운 공리(EDS 공리)를 만족하며, 이소시아티브 반군의 구조를 포함한다.
• 유형이 부여된 이진 트리와 유형이 부여된 단어 위에 자유 Ω-다이엔드로이드 대수를 구성하며, Loday-Ronco의 무유형 트리에 대한 구성 방식을 일반화한다.
• Ω-다이엔드로이드 대수를 지배하는 오페라드의 코스졸 쌍대성을 연구하며, 이는 유형이 부여된 상황으로 히몰로지 대수 도구를 확장한다.
• 유형이 부여된 트리와 단어 위에 복합체가 존재하는지 조사하며, 이를 통해 다이엔드로이드 대수의 복합체를 구성하고, 이러한 복합체의 조합적 기술을 제공한다.

제안 방법

• 확장된 이이소시아티브 반군(EDS)을 정의한다. 이는 집합 Ω와 네 개의 이항 연산 Ð, Ñ, Ÿ, Ź를 포함하며, 이소시아티브 반군의 구조를 포함하는 특정 공리들을 만족한다.
• 벡터 공간 위에서 Ω를 인덱스로 하는 곱 ăα, ąα를 가지며, Ω 위의 네 가지 연산을 포함하는 세 개의 공리를 만족하는 Ω-다이엔드로이드 대수를 구성한다.
• 한 생성자 위에서의 자유 Ω-다이엔드로이드 대수의 구조가 Ω-유형이 부여된 평면 이진 트리가 생성하는 벡터 공간 위에서 실현됨을 증명하며, 트리 분해를 통한 재귀적 정의로 곱을 정의한다.
• 자유 Ω-다이엔드로이드 대수의 구성 방식을 유형이 부여된 단어로 확장하며, 트리 위의 자유 Ω-다이엔드로이드 대수에서 유형이 부여된 단어 위의 셔플 유형 대수로의 준동형을 사용한다.
• 유형이 부여된 트리 위의 복합체를 조합적으로 기술하기 위해 허용 가능한 컷을 정의하고, Ω 위의 네 가지 연산을 사용하여 복합체를 재귀적으로 계산한다.
• 다이엔드로이드 곱과 복합체 사이의 호환성을 이용하여 복합체가 잘 정의되어 있으며, 다이엔드로이드 대수의 복합체 공리들을 만족함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매칭 및 패밀리 다이엔드로이드 대수는 어떻게 하나의 대수적 프레임워크 안에서 통합될 수 있는가?
• RQ2 유형 집합 Ω 위의 네 가지 연산이 유형이 부여된 이진 트리 위에서 일관된 Ω-다이엔드로이드 대수의 구조를 유도하기 위해 만족해야 할 공리는 무엇인가?
• RQ3 한 생성자 위에서의 자유 Ω-다이엔드로이드 대수의 구조는 어떻게 되며, Loday-Ronco의 구성 방식을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 Ω-다이엔드로이드 대수를 지배하는 오페라드의 코스졸 쌍대는 무엇이며, 원래 오페라드와의 관계는 어떠한가?
• RQ5 유형이 부여된 트리와 단어 위에 복합체가 존재하는 조건은 무엇이며, 어떻게 조합적으로 명시적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Ω-다이엔드로이드 대수가 네 가지 연산이 EDS 공리를 만족하는 Ω 위에서 정의됨을 입증하며, 이는 매칭 및 패밀리 다이엔드로이드 대수를 모두 일반화한다.
• 한 생성자 위에서의 자유 Ω-다이엔드로이드 대수는 Ω-유형이 부여된 평면 이진 트리가 생성하는 벡터 공간 위에서 실현되며, 트리 분해를 통한 재귀적 정의로 곱이 정의된다.
• 비퇴약적인 가환 EDS에 대해, 대수 KΩbSh+Ω(V)의 유형이 부여된 단어 위의 복합체는 컷에 대한 합으로 주어지며, 계수는 연산 ð, đ, Ð, Ź에 의해 결정된다.
• 유형이 부여된 트리 위의 복합체는 허용 가능한 컷을 통해 명시적으로 기술되며, 각 컷은 트리를 왼쪽과 오른쪽 구성요소로 분해하고, Ω 위의 네 가지 연산을 사용하여 재귀적으로 복합체를 계산한다.
• 복합체는 ιc(α ⊗ R_c(T)) = α ⊗ R_c(T) 를 만족하여 다이엔드로이드 구조와 호환됨을 증명하며, 이는 복합체의 정의가 잘 되어 있음을 보여준다.
• Ω가 이진 연산 ‹에 대해 군을 이룰 경우, 트리 위의 복합체는 T_e(α₀) = α₀‹⋯‹α_k ⊗ T_e 의 형태를 가지며, 이는 유형 위의 군 작용을 일반화한다.