[논문 리뷰] Generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz functions

Binod Chandra Tripathy, Stuti Borgohain|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 17.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오르리치 함수를 사용하여 퍼지 실수의 일반화된 차분 세자로 수열 공간을 도입하며, 고전적 수열 공간 이론을 퍼지 설정으로 확장한다. 위상적 성질, 포함 관계 및 완비성 등을 확립하여 이전의 퍼지 수에 대한 차분 및 세자로 수열 공간 연구를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we introduced the generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz function. We study some topological properties of these spaces. We obtain some inclusion relations involving these sequence spaces. These notions generalize many notions on difference Cesaro sequence spaces.

연구 동기 및 목표

• 고전적 차분 세자로 수열 공간을 오르리치 함수를 사용하여 퍼지 실수로 일반화한다.
• 퍼지 수열 공간의 맥락에서 완비성과 수렴과 같은 위상적 성질을 조사한다.
• 신규로 정의된 수열 공간과 관련된 고전적 공간 간의 포함 관계를 수립한다.
• 기존의 차분 및 세자로 수열 공간 결과를 오르리치 함수 노름을 갖춘 퍼지 설정으로 확장한다.
• 퍼지 수에 대한 수열 공간 이론의 여러 이전 개념을 통합하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 오르리치 함수 M을 사용하여 퍼지 실수의 일반화된 차분 세자로 수열 공간을 정의하며, $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, 및 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $로 표기한다.
• 고차원 차분을 정의하기 위해 일반화된 차분 연산자 $ \Delta_{m}^{n}x_{k} = \sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}\binom{n}{r}x_{k+rm} $를 활용한다.
• 퍼지 수 간의 거리를 측정하기 위해 닫힘 유계 구간에 대한 거리 측도 $ \overline{d}(X,Y) = \max\{|X^{L}-Y^{L}|, |X^{R}-Y^{R}|\} $를 사용한다.
• 정규화된 거리 $ \overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k}, \overline{0})/\rho $ 에 오르리치 함수 M을 적용하고, 세자로 평균 $ \frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i} M(\cdots) $ 를 사용하여 수렴을 정의한다.
• 정의된 노름에 적합한 노름 $ \|x\|_{\Delta_{m}^{n}} = \sum_{r=1}^{m}|x_{r}| + \sup_{k\geq1}|\Delta_{m}^{n}x_{k}| $ 을 사용하여 위상적 성질을 증명한다.
• 정의된 노름 하에서 유계성과 수렴성을 확보하기 위해 오르리치 함수에 대한 $ \Delta_{2} $-조건을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고전적 세자로 및 차분 수열 공간을 오르리치 함수를 사용하여 퍼지 실수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 신규로 정의된 퍼지 수열 공간의 위상적 성질—완비성과 수렴 등—은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 퍼지 수열 공간 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, 및 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 간의 포함 관계는 무엇인가?
• RQ4 특히 $ \Delta_{2} $-조건을 갖는 오르리치 함수의 성질이 이러한 퍼지 수열 공간의 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 공간 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 는 수렴 자유인가, 그리고 이는 그 구조에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 반례를 통해 일반적으로 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 가 수렴 자유가 아님을 입증하였다. 즉, 어떤 $ \rho > 0 $ 에 대해 $ \sup_{i}\frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i}M(\overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k},\overline{0})/\rho) = \infty $ 가 성립함을 보였다.
• 다음 포함 관계 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 는 $ 1 \leq p < \infty $ 에서 엄밀하게 성립한다.
• $ 1 \leq p < q $ 인 경우, 포함 관계 $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 와 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset \ell_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 가 성립함을 입증하였다.
• 모든 $ m \geq 1 $, $ n \geq 1 $ 에 대해 $ C_{p}^{F}(M) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 이 성립함을 보였으며, 이는 일반화된 공간이 표준 세자로 공간보다 더 크다는 것을 보여준다.
• 오르리치 함수 $ M_{1}, M_{2} $ 가 $ \Delta_{2} $-조건을 만족할 경우, $ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M \circ M_{1},\Delta_{m}^{n}) $ 와 $ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \cap Z(M_{2},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M_{1}+M_{2},\Delta_{m}^{n}) $ 가 성립하며, 여기서 $ Z \in \{C_{\infty}^{F}, O_{\infty}^{F}, C_{p}^{F}, O_{p}^{F}, \ell_{p}^{F}\} $ 이다.
• $ i < n $ 인 경우, 포함 관계 $ Z(M,\Delta_{m}^{i}) \subset Z(M,\Delta_{m}^{n}) $ 가 성립함을 보였으며, 이는 고차원 차분이 더 큰 수열 공간을 유도한다는 것을 나타낸다.