[논문 리뷰] Generalized Drinfeld-Sokolov Hierarchies II: The Hamiltonian Structures

Nigel J. Burroughs, Mark F. de Groot외 2명|arXiv (Cornell University)|1991. 09. 10.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 13인용 수 59

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Drinfeld-Sokolov KdV 계층의 이해밀토니안 구조를 확립하며, 두 해밀턴 구조가 모두 Kac-Moody 대수 위의 Kirillov 괄수로 표현됨을 보여주고, 두 번째 구조가 $W_n^{(l)}$과 같이 고전적 확장된 등각 대수를 생성함을 보임. 이는 $W_3^{(2)}$를 특수한 경우로 포함함. 부분적으로 수정된 계층에서 KdV 계층으로의 Miu 변환이 해밀턴 변환이며, KdV의 경우를 고차수 대수로 일반화함.

ABSTRACT

In this paper we examine the bi-Hamiltonian structure of the generalized KdV-hierarchies. We verify that both Hamiltonian structures take the form of Kirillov brackets on the Kac-Moody algebra, and that they define a coordinated system. Classical extended conformal algebras are obtained from the second Poisson bracket. In particular, we construct the $W_n^l$ algebras, first discussed for the case $n=3$ and $l=2$ by A. Polyakov and M. Bershadsky.

연구 동기 및 목표

• 이전에 구성되었지만 해밀턴 분석이 부족했던 일반화된 Drinfeld-Sokolov 통합 계층의 해밀턴 체계를 완성하는 것.
• 일반화된 KdV 계층의 두 포아송 구조가 조율되어 있음을 확인하여 비자명한 이해밀토니안 체계임을 보장하는 것.
• 두 번째 해밀턴 구조가 고전적 확장된 등각 대수, 예를 들어 $W_n^{(l)}$을 실현함을 보여주며, KdV의 경우에 해당하는 비라소로 대수를 일반화하는 것.
• 부분적으로 수정된 KdV 계층에서 KdV 계층으로의 Miu 변환이 해밀턴 변환임을 증명하여 수정된 계층과 표준 계층을 포아송 구조를 통해 연결하는 것.

제안 방법

• 계층의 위상공간에 대해 두 포아송 괄수를 제안하며, 중심 확장을 가진 Kac-Moody 대수 $\hat{g}$ 위의 Kirillov 괄수로 이를 실현함.
• 두 괄수의 반대칭성과 자코비 항등식을 검증하고, 임의의 $\mu$에 대해 $\{\cdot,\cdot\} = \{\cdot,\cdot\}_1 + \mu\{\cdot,\cdot\}_2$의 일파라미터 가중치 가중 평균이 포아송 괄수를 형성함을 증명하여 두 괄수의 조율을 입증함.
• 두 번째 해밀턴 구조를 중심 확장을 가진 Kac-Moody 대수로 구성하며, 비라소로 생성자에 대한 수가와라 구성이 가능함을 보임.
• 장 $f$ 가 두 번째 해밀턴 흐름 하에서 일정함을 보여, 대수적 구조와의 일관성을 확보함.
• 부분적으로 수정된 KdV 계층에서 KdV 계층으로의 Miu 변환이 포아송 구조를 유지하는 해밀턴 변환임을 증명함.
• 일반적인 결과를 확인하기 위해, 비틀지 않은 Kac-Moody 대수, 분수계 KdV 계층, $W_n^{(l)}$ 대수 등의 예제에 이 형식을 적용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Drinfeld-Sokolov KdV 계층은 두 개의 조율된 포아송 괄수를 가진 이해밀토니안 구조를 갖는가?
• RQ2 이 계층의 두 번째 해밀턴 구조는 $W_n^{(l)}$과 같은 고전적 확장된 등각 대수를 실현하는가?
• RQ3 부분적으로 수정된 KdV 계층에서 KdV 계층으로의 Miu 변환은 포아송 구조를 유지하는 해밀턴 변환인가?
• RQ4 해밀턴 흐름은 두 번째 포아송 괄수 구조에서 Kac-Moody 대수와 그 중심 확장과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 두 번째 해밀턴 구조에서 장 $f$ 의 역할은 무엇이며, 왜 이는 계층 흐름 하에서 일정한가?

주요 결과

• 일반화된 KdV 계층의 두 해밀턴 구조는 중심 확장을 가진 Kac-Moody 대수 $\hat{g}$ 위의 Kirillov 괄수로 실현되며, 두 번째 구조는 중심 확장을 포함함.
• 두 번째 포아송 괄수 대수는 비라소로 대수를 부분 대수로 포함하며, 일반적으로 $1 \leq l \leq n-1$ 인 경우에 대해 고전적 $W_n^{(l)}$ 대수를 실현함. 이는 Polyakov와 Bershadsky가 발견한 $W_3^{(2)}$ 대수를 일반화함.
• 부분적으로 수정된 KdV 계층에서 KdV 계층으로의 Miu 변환은 해밀턴 변환이며, 이는 수정된 계층의 단일 해밀턴 구조를 KdV 계층의 두 번째 해밀턴 구조로 연결함.
• 장 $f$ 는 두 번째 해밀턴 흐름 하에서 운동량 보존 법칙을 만족함. 이는 $\{f(x), H\}_2 = 0$ 이 모든 해밀토니언 $H$ 에 대해 성립하기 때문이며, 이는 두 번째 포아송 대수의 중심에 있지 않음에도 불구하고 성립함.
• 두 번째 해밀턴 구조는 임의의 등각 변환에 대해 불변이며, 이는 계층 방정식의 준동차성의 반영임.
• 이 형식은 KdV의 경우에 두 번째 구조가 비라소로 대수임을 일반화하여 고차수 리 대수와 확장된 등각 대수로 일반화함.