[논문 리뷰] Generalized Enrichment for Categories and Multicategories

Tom Leinster|ArXiv.org|1999. 01. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 고차원 구조에서 다중범주를 풍부화시키는 일반화된 프레임워크를 제안하며, n-오피토프에 관련된 모나드 Tₙ과 관련된 Tₙ-다중범주가 Tₙ₊₁-다중범주에서 풍부화될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 'fc-다중범주'—범주, 다중범주, 이범주, 이중범주를 모두 포함하는 유니버설 2차원 구조—의 정의이며, fc-다중범주에서 풍부화된 범주가 자연스럽게 이중모듈러스 구조를 지원함을 보이며, 이는 유연한 다중범주와 대칭 모나드 범주에서의 작용소에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we answer the question: `what kind of a structure can a general multicategory be enriched in?' The answer is, in a sense to be made precise, that a multicategory of one type can be enriched in a multicategory of the type one level up. In the case of ordinary categories this reduces to something surprising: a category may be enriched in an `fc-multicategory', a very general kind of 2-dimensional structure encompassing monoidal categories, plain multicategories, bicategories and double categories. (It turns out that fc-multicategories also provide a natural setting for the bimodules construction.) An extended application is given: the relaxed multicategories of Borcherds and Soibelman are explained in terms of enrichment.

연구 동기 및 목표

• 기초적인 질문에 답하기: '일반적인 다중범주는 어떤 구조에서 풍부화될 수 있는가?'
• 임의의 모나드 T에 대해 일반적인 T-다중범주 개념을 정의하여, 고전적 풍부화를 단순한 모나드 범주를 넘어서 일반화하기.
• fc-다중범주가 범주, 다중범주, 이범주, 이중범주를 모두 포함하는 유니버설 2차원 구조임을 규명하기.
• 이중모듈러스 구조가 fc-다중범주의 맥락에서 자연스럽게 유도됨을 보여주기.
• 이 프레임워크를 유연한 다중범주에 적용하여 Borcherds–Soibelman의 구조가 T₂-다중범주에서의 풍부화를 통해 설명됨을 밝히기.

제안 방법

• 적절한 범주 E 위에서 모나드 T에 의해 지배되는 합성으로 정의되는 고전적 풍부화의 일반화를 사용하여 T-다중범주를 정의하기.
• n-오피토프에서 유도된 opetopic 모나드 Tₙ를 사용하여 Tₙ-다중범주를 정의하며, T₀ = id(범주), T₁ = 자유 모노이드(일반적인 다중범주), 그리고 고차원 합성에 대응하는 고차 Tₙ를 포함한다.
• 모나드 범주, 다중범주, 이범주, 이중범주를 일반화하는 유니버설 2차원 구조인 'fc-다중범주'를 도입하기.
• 적합성 공리(카르테시안 범주, 안정적인 코프로덕트, 교환 가능한 코프로덕트)를 사용하여 T-그래프 위의 자유 다중범주를 중첩된 그래프 시퀀스 An의 코프로덕트로 구성하기.
• 기본 함자에 대한 왼쪽 수반을 통해 자유 다중범주의 존재를 증명하며, 모나드성 정리와 함께 (E, T)가 적합할 때 (E′, T′)도 적합함을 확인하기.
• 이 프레임워크를 유연한 다중범주에 적용하여, T₂-다중범주에서의 풍부화로부터 유연한 다중범주가 유도됨을 보이고, 대칭 모나드 범주에서의 작용소를 일반화된 다중범주 풍부화의 맥락에서 설명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순한 모나드 범주를 초월하여 일반적인 다중범주는 어떤 구조에서 풍부화될 수 있는가?
• RQ2 opetopic 모나드 Tₙ를 사용하여 다중범주의 개념이 어떻게 범주에서 고차원 다중범주로 일반화되는가?
• RQ3 'fc-다중범주'는 이범주, 이중범주, 이중모듈러스 구조를 어떻게 통합하는가?
• RQ4 Borcherds와 Soibelman의 유연한 다중범주는 T₂-다중범주에서의 풍부화를 통해 어떻게 이해할 수 있는가?
• RQ5 대칭 모나드 범주에서의 작용소는 제안된 일반화된 다중범주 풍부화 프레임워크 안에서 어떻게 위치하는가?

주요 결과

• Tₙ-다중범주는 Tₙ₊₁-다중범주에서 풍부화될 수 있으며, 이는 opetopic 모나드를 기반으로 한 풍부화 구조의 계층을 확립한다.
• fc-다중범주에서 풍부화된 범주의 범주는 잘 정의되어 있으며, 이중모듈러스를 포함한 표준적인 2차 범주론적 구성요소를 모두 포함한다.
• 이중모듈러스 구조는 fc-다중범주의 맥락에서 자연스럽게 유도되며, 이는 범주, 함자, 프로파일을 통합하는 Bim(Span) 구조를 제공한다.
• T-그래프 위의 자유 T-다중범주는 그래프 시퀀스 An의 코프로덕트로 구성되며, 이 구성은 (E, T)의 적합성에 의존한다.
• Borcherds와 Soibelman의 유연한 다중범주는 T₂-다중범주에서의 풍부화로부터 유도된 것으로 밝혀져, 풍부화를 통한 개념적 설명을 제공한다.
• 대칭 모나드 범주에서의 작용소는 일반화된 다중범주 풍부화 프레임워크 내에서 풍부화된 일반 다중범주로 식별되며, 자연스럽게 통합된다.