[논문 리뷰] Generalized Finsler Geometry in Einstein, String and Metric--Affine Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|2003. 10. 14.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 메트릭-아핀 중력(MAG) 내에서 일반화된 핀슬러-아핀 기하학의 프레임워크를 개발하며, 비타당한 기저와 비선형(N-연결)을 사용하여 국소적으로 이방성인 시공간을 모델링한다. 논문은 아인슈타인, 스트링, MAG 이론에서 핀슬러 유사 기하학이 유도되는 조건을 설정하며, 일반적인 비대칭 메트릭이 N-연결 구성에 의해 본질적으로 이러한 구조를 생성함을 보여주며, 11종류의 공간 유형을 명시적으로 분류함으로써 다양한 비라만니안 기하학을 하나의 형식론으로 통합한다.

ABSTRACT

We develop the method of anholonomic frames with associated nonlinear connection (in brief, N--connection) structure and show explicitly how geometries with local anisotropy (various type of Finsler--Lagrange--Cartan--Hamilton geometry) can be modeled in the metric--affine spaces. There are formulated the criteria when such generalized Finsler metrics are effectively induced in the Einstein, teleparallel, Riemann--Cartan and metric--affine gravity. We argue that every generic off--diagonal metric (which can not be diagonalized by coordinate transforms) is related to specific N--connection configurations. We elaborate the concept of generalized Finsler--affine geometry for spaces provided with arbitrary N--connection, metric and linear connection structures and characterized by gravitational field strengths, i. e. by nontrivial N--connection curvature, Riemannian curvature, torsion and nonmetricity. We apply a irreducible decomposition techniques (in our case with additional N--connection splitting) and study the dynamics of metric--affine gravity fields generating Finsler like configurations. The classification of basic eleven classes of metric--affine spaces with generic local anisotropy is presented.

연구 동기 및 목표

• 메트릭-아핀 중력(MAG)에 적용 가능한 단일 프레임워크 내에서 국소적으로 이방성인 기하학—핀슬러, 라그랑주, 해밀턴, 카르탕—을 통합하기 위해.
• 아인슈타인, 스트링, MAG 이론에서 일반적인 비대칭 메트릭이 핀슬러 유사 구성으로 어떻게 유도되는지를 결정하는 기준을 설정하기 위해.
• N-연결과 d-연결 구조를 사용하여 일반적인 국소적 이방성과 함께 11종류의 메트릭-아핀 공간 유형을 분류하기 위해.
• 비메트릭성, 토르션, 곡률을 통합된 기하학적 접근 방식으로 통합하여 중력 모델을 다루기 위해.
• 일반적인 비대칭 메트릭과 비타당한 제약 조건을 가진 중력 이론에서 정확한 해를 체계적으로 구성하는 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 비타당한 기저와 관련된 비선형(N-연결) 구조를 사용하여 메트릭-아핀 공간을 구분된(d-연결) 성분으로 분해한다.
• d-연결 형식론(d-연결 = N-연결 분할에 적응된 선형 연결)을 적용하여 d-메트릭, d-토르션, d-곡률을 정의한다.
• N-연결 분할을 사용한 불가약한 분해 기법을 적용하여 중력장 강도인 곡률, 토르션, 비메트릭성을 분석한다.
• 비영이 아닌 토르션과 비메트릭성을 가진 메트릭-아핀 기하학과 N-연결 및 이방성 메트릭을 가진 핀슬러 유사 구조의 융합으로서 일반화된 핀슬러-아phin 기하학을 도입한다.
• N-연결과 d-메트릭 구조에 적응된 추상적이고 좌표 기반의 계산을 사용하여 d-토르션과 d-곡률에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• N-연결, d-메트릭, 연결 유형에 기반하여 일반화된 핀슬러-아핀 공간 11종류(예: 일반화된 라그랑주-아핀, 해밀턴-아핀, 텔레파라렐, 리만-카르탕 등)를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인, 스트링, 메트릭-아핀 중력 이론에서 핀슬러 유사 기하학이 효과적으로 유도될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 좌표 변환으로 대각화할 수 없는 일반적인 비대칭 메트릭은 N-연결 구성과 국소적 이방성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 비선형(N-연결)이 메트릭-아핀 중력 내에서 다양한 비라만니안 기하학(Finsler, Lagrange, Hamilton, Cartan)을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 d-연결, d-메트릭, 비메트릭성 구조에 관해 일반화된 핀슬러-아핀 기하학을 어떻게 체계적으로 분류할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 비대칭 메트릭, 토르션, 비메트릭성을 가진 중력 모델에서 정확한 기하학적 및 역학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 좌표 변환으로 대각화할 수 없는 모든 일반적인 비대칭 메트릭은 특정한 N-연결 구성과 본질적으로 연결되어 있으며, 국소적 이방성을 암시한다.
• N-연결과 함께 비타당한 기저를 사용하는 방법은 메트릭-아핀 중력 내에서 핀슬러, 라그랑주, 해밀턴, 카르탕 기하학을 통합된 프레임워크로 모델링할 수 있도록 한다.
• 논문은 N-연결과 d-연결 구조에 기반하여 일반화된 라그랑주-아핀, 해밀턴-아핀, 텔레파라렐, 리만-카르탕 유형을 포함한 11종류의 일반화된 핀슬러-아핀 공간 유형을 분류한다.
• 비메트릭성, 토르션, 곡률이 리만 또는 리베비치타 기하학이 없더라도 핀슬러 유사 구성의 생성에 핵심적인 역할을 함을 보여준다.
• 정리 4.1과 4.2는 모든 일반화된 핀슬러-아핀 공간에서 d-토르션과 d-곡률을 계산하는 명시적 절차를 제공하며, 체계적인 해의 구성이 가능하게 한다.
• 이 형식론은 일반적인 비대칭 메트릭과 비타당한 제약 조건을 가진 스트링 이론과 메트릭-아핀 중력에서 정확한 해를 가능하게 하며, 2~5개의 변수에 대해 유효하며 아인슈타인 중력으로의 극한을 포함한다.