[논문 리뷰] Generalized Floquet theory for open quantum systems

C. M. Dai, Hong Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 17.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주기적 드라이빙이 느리게 변화하는 매개변수(예: 레이저 주파수의 치프, 진폭의 램프)로 인해 파괴되는 개방 양자 시스템에 대해 플로케 이론을 일반화한다. 시간 진동 연산자를 느리게 변화하는 효과적 생성자와 주기적인 마이크로운동 연산자로 인수분해함으로써, 저자들은 정확한 장시간 동역학을 기술할 수 있는 고주파수 전개를 도출한다. 이는 실제 비이상적인 조건에서 개방 양자 시스템을 제어할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

For a periodically driven open quantum system, the Floquet theorem states that the time evolution operator $Λ(t,0)$ of the system can be factorized as $Λ(t,0)=\mathcal{D}(t)e^{\mathcal{L}_{eff}t}$ with micro-motion operator $\mathcal{D}(t)$ possessing the same period as the external driving, and time-independent operator $\mathcal{L}_{eff}$. In this work, we extend this theorem to open systems that follow a modulated periodic evolution, in which the fast part is periodic while the slow part breaks the periodicity. We derive a factorization for the time evolution operator that separates the long time dynamics and the micro-motion for the open quantum system. High-frequency expansions for the effective evolution operator control the long time dynamics, and the micro-motion operator is also given and discussed. It may find applications in quantum engineering with open systems following modulated periodic evolution.

연구 동기 및 목표

• 엄격히 주기적인 드라이빙을 초월하여 느리게 변화하는 매개변수를 가진 개방 양자 시스템으로 플로케 이론을 확장하기.
• 치프 레이저 펄스나 램프 진폭 등 주기적 드라이빙이 불완전한 실용적 상황을 다루기.
• 장시간 동역학과 마이크로운동을 분리하는 시간 진동 초연산자의 인수분해 형태를 도출하기.
• 정확한 동역학과 일치하는 고주파수 전개를 통해 효과적 생성자와 마이크로운동 연산자를 도출하기.

제안 방법

• 시간 진동 초연산자 Λ(t,s)를 느리게 변화하는 효과적 생성자 L_eff(t)와 주기적인 마이크로운동 연산자 D(t)의 곱으로 인수분해한다.
• 효과적 주파수의 역수인 ω_eff^(-1)에 대한 고주파수 전개를 사용하여 L_eff(t)를 두 번째 차수까지 체계적으로 계산한다.
• f(t)와 ω_d(t)와 같은 매개변수로 모델링된 빠른 주기적 성분과 느린 변화 성분을 가진 시간에 따라 변하는 생성자 L(t)를 도입한다.
• 빠른 동역학과 느린 동역학을 분리하기 위해 회전파동 근사와 막스터 전개 기법을 적용한다.
• 첫 번째 차수 전개로부터 유도된 시간 주기적 초연산자의 지수함수 형태로 마이크로운동 연산자 D(t)를 구성한다.
• 감쇠가 있는 강제 조건의 조화 진동자에 대해 정확한 해와 비교하여 수치적으로 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 느린 변화하는 매개변수로 인해 엄격히 주기적이지 않은 개방 양자 시스템에 대해 플로케 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 생성자 L(t)가 느린 매개변수에 의해 조절될 때 시간 진동 초연산자 Λ(t,s)의 구조는 어떠한가?
• RQ3 효과적 생성자와 마이크로운동 연산자의 고주파수 전개가 이러한 시스템의 장시간 동역학을 얼마나 잘 기술하는가?
• RQ4 치프 또는 램프 드라이빙 조건에서 효과적 생성자와 마이크로운동 연산자가 정확한 동역학을 어느 정도 재현하는가?
• RQ5 강한 주파수와 약한 주파수를 동시에 가진 다중 주파수 체계에 이 형식이 적용 가능한가?

주요 결과

• 시간 진동 초연산자 Λ(t,s)는 Λ(t,s) = D(t) exp[∫₀ᵗ L_eff(τ)dτ]로 인수분해되며, 여기서 L_eff(t)는 장시간 동역학을 지배하고 D(t)는 주기적인 마이크로운동을 기술한다.
• 효과적 생성자 L_eff(t)는 f(t) 또는 ω_d(t)와 같은 조절 매개변수와 같은 느린 시간 스케일을 가지며, ω_eff^(-1)에 대해 두 번째 차수까지 유도된다.
• 마이크로운동 연산자 D(t)는 α = -f(t)e^{iωt}/(2ω_eff)를 매개변수로 하는 이동 연산자로 근사되며, 빠른 진동을 캡처한다.
• 수치적 결과는 효과적 동역학(L_eff를 두 번째 차수까지 사용)과 정확한 동역학 사이에 뛰어난 일치를 보이며, 마이크로운동으로 인한 소규모 진동 외에는 거의 일치한다.
• 드라이빙 주파수 ω_d(t)가 치프(느리게 변화)될 경우에도 효과적 생성자는 여전히 정적 상태 행동을 정확히 기술하며, 시스템은 시간 평균 정적 상태에 도달한다.
• 약한 시스템- bath 결합 조건에서도 이 형식은 유효하며, ω₁ ≫ ω₂인 다중 주파수 드라이빙 상황으로 자연스럽게 확장된다.