[논문 리뷰] Generalized Fractional Order Derivatives, Its Properties and Applications

Ali Karcı|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 20.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기존의 Riemann-Liouville 및 Caputo와 같은 방법에서의 모순을 해결하기 위해 고전적 도함수 원리와 L'Hôpital의 정리를 사용하여 분수계수 도함수(FOD)를 재정의한다. 기존의 FOD 수식이 본질적으로 곡선 피팅 근사임을 입증하고, 순수 도함수의 성질을 유지하며 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등 모든 함수 유형에 대해 수학적으로 일관되고 완전한 일반화된 FOD 정의를 제안한다.

ABSTRACT

The concept of fractional order derivative can be found in extensive range of many different subject areas. For this reason, the concept of fractional order derivative should be examined. After giving different methods mostly used in engineering and scientific applications, the omissions or errors of these methods will be discussed in this study. The mostly used methods are Euler, Riemann-Liouville and Caputo which are fractional order derivatives. The applications of these methods to constant and identity functions will be given in this study. Obtained results demonstrated that all of three methods have errors and deficiencies. In fact, the obtained results demonstrated that the methods given as fractional order derivatives are curve fitting methods or curve approximation methods. In this paper, we redefined fractional order derivative (FOD) by using classical derivative definition and L Hospital method, since classical derivative definition concluded in indefinite limit such as 0/0. The obtained definition is same as classical derivative definition in case of fractional order is equal to 1. This implies that definitions and theorems in this paper sound and complete. After defining the FOD concept, the applications of FOD for polynomial, exponential, trigonometric and logarithmic functions were handled in this study. The properties of FOD for positive monotonic increasing/decreasing functions were demonstrated in this paper. Another important point is that the relation between derivatives and complex functions were also verified in this paper.

연구 동기 및 목표

• Euler, Riemann-Liouville, Caputo 등 널리 사용되는 분수계수 도함수 방법에 존재하는 근본적인 오류와 누락 사항을 규명하고 수정한다.
• 고전적 도함수 정의와 L'Hôpital의 정리를 활용해 분수계수 도함수를 재정의함으로써 0/0과 같은 부정형을 해결한다.
• 분수계수 도함수의 차수가 1일 때 고전적 도함수로 정확히 축소됨을 보장함으로써 일관성과 완전성을 확보한다.
• 양의 단조 증가 또는 감소 함수에 대해 일반화된 FOD의 성질을 분석하고, 복잡한 함수에 대한 행동을 검증한다.
• 새로운 FOD 수식이 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등 다양한 함수 유형에 적용될 때의 적용 가능성과 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 고전적 도함수 정의를 적용하고, L'Hôpital의 정리를 사용해 0/0 부정형을 해결함으로써 분수계수 도함수를 재수정한다.
• 분수계수 도함수가 차수가 1일 때 고전적 도함수와 정확히 일치하도록 일반화된 FOD를 정의함으로써 연속성과 일관성을 확보한다.
• 상수함수, 항등함수, 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수에 새 FOD 정의를 적용하여 정확성을 검증한다.
• 양의 단조 증가 또는 감소 함수에 대해 일반화된 FOD의 행동을 분석하여 이론적 성질을 확립한다.
• 일반화된 FOD와 복소함수 간의 관계를 검증하여 이론적 기반을 확장한다.
• 수학적 증명을 통해 기존 방법의 결함을 입증하고, 이들이 곡선 피팅 근사에 가깝다는 점을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 분수계수 도함수 방법들인 Riemann-Liouville 및 Caputo가 상수함수와 항등함수에 적용될 때 일관되지 않은 결과를 도출하는 이유는 무엇인가?
• RQ2 차수 1일 때 고전적 도함수로 축소되며 수학적으로 일관성을 유지하는 일반화된 분수계수 도함수를 정의할 수 있는가?
• RQ3 기존의 분수도함수 수식은 진정한 미분의 일반화가 아니라 곡선 피팅 방법에 가까운가?
• RQ4 제안된 일반화된 FOD는 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등 다양한 함수 유형에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 일반화된 FOD와 복소함수 간의 관계는 무엇이며, 필수적인 해석적 성질을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 일반화된 FOD 정의는 수학적으로 일관되며, 분수계수 도함수의 차수가 1일 때 고전적 도함수로 정확히 축소된다.
• Riemann-Liouville 및 Caputo와 같은 기존 방법들은 결함이 있으며, 정확한 도함수보다는 곡선 피팅 또는 근사 기법으로 보다 적절히 해석되어야 한다.
• 새로운 FOD 수식은 상수함수와 항등함수를 정확히 미분하여 이전 접근법에서 존재하던 핵심적인 일관성 문제를 해결한다.
• 일반화된 FOD는 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수에 대해 적절한 행동을 유지하며 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 양의 증가 또는 감소 함수에 대해 단조성 성질을 유지함으로써 이론적 타당성을 확인한다.
• 일반화된 FOD와 복소함수 간의 관계가 검증되어 고급 분석적 맥락에서의 활용 가능성을 뒷받침한다.