[논문 리뷰] Generalized gauge actions on $k$-graph $C^*$-algebras: KMS states and Hausdorff structure

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 게이지 작용 하에서 $k$-그래프 $C^*$-대수의 KMS 상태와 관련된 초등거리 칸토어 집합의 하우스도르프 측도 및 하우스도르프 차원 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 함수 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$를 통해, 저자들은 KMS 상태가 주기성 군과 하우스도르프 측도로서 나타나는 Borel 확률 측도에 의해 매개됨을 보이며, 역온도 $\beta$는 하우스도르프 차원 $\theta$와 $\beta = \theta$의 관계로 연결된다. 핵심 결과는 하우스도르프 측도 $H^\theta$가 KMS 상태 측도 $\mu_{y,\theta}$와 정확히 일치하며, $\theta$는 $y$로부터 유도된 거리에 의한 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원임을 보여준다.

ABSTRACT

For a finite, strongly connected $k$-graph $Λ$, an Huef, Laca, Raeburn and Sims studied the KMS states associated to the preferred dynamics of the $k$-graph $C^*$-algebra $C^*(Λ)$. They found that these KMS states are determined by the periodicity of $Λ$ and a certain Borel probability measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$. Here we consider different dynamics on $C^*(Λ)$, which arise from a functor $y: Λ o \mathbb{R}_+$ and were first proposed by McNamara in his thesis. We show that the KMS states associated to McNamara's dynamics are again parametrized by the periodicity group of $Λ$ and a family of Borel probability measures on the infinite path space. Indeed, these measures also arise as Hausdorff measures on $Λ^\infty$, and the associated Hausdorff dimension is intimately linked to the inverse temperatures at which KMS states exist. Our construction of the metrics underlying the Hausdorff structure uses the functors $y: Λ o \mathbb{R}_+$; the stationary $k$-Bratteli diagram associated to $Λ$; and the concept of exponentially self-similar weights on Bratteli diagrams.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 게이지 작용 하에서 $k$-그래프 $C^*$-대수의 KMS 상태의 구조를 이해하고, 기존 표준 게이지 작용에 대한 연구를 확장한다.
• McNamara의 일반화된 게이지 동역학 하에서 KMS 상태가 존재하는 역온도 $\beta$를 특성화한다.
• KMS 상태의 존재와 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원 사이의 정확한 연결 고리를 확립한다.
• KMS 상태 측도가 함수 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$에 의해 유도된 $\Lambda^\infty$ 상의 초등거리에서 관련된 하우스도르프 측도로서 유래됨을 보인다.
• 하우스도르프 차원 $\theta$가 초등거리 칸토어 집합 $\Lambda^\infty$의 것과 같으며, 이는 KMS 상태가 존재하는 역온도 $\beta$와 일치함을 증명한다.

제안 방법

• 논문은 $\Lambda$에 대한 함수 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$와 $\Lambda$에 관련된 정적 $k$-브라텔리 다이어그램에 대한 자기유사 가중치 $w_{y,\theta}$를 사용하여 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상에 초등거리 $d_{y,\theta}$를 구성한다.
• 가중치 $w_{y,\theta}(\lambda) = e^{-\theta y(\lambda)} \rho(B(y,\theta))^{-d(\lambda)} \xi^{y,\theta}_{s(\lambda)}$를 정의함으로써, 저자들은 $\Lambda^\infty$ 상에 자기유사 구조를 유도하는 거리를 정의한다.
• 초등거리 칸토어 집합 상의 하우스도르프 측도 이론을 적용하여, 저자들은 실린더 집합 $Z(\lambda)$ 상에서 하우스도르프 측도 $H^\theta$를 계산하며, $H^\theta(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$임을 보인다.
• 이러한 구성은 가중치 $w_{y,\theta}$의 지수 자기유사성에 의존하며, 이는 잘 정의된 하우스도르프 차원 $\theta$의 존재를 보장한다.
• 군oid 모델과 준불변 측도를 사용하여, 저자들은 KMS 상태가 $\Lambda^\infty$ 상의 Borel 확률 측도에 의해 매개되며, 이 측도들이 동역학에 대해 불변임을 식별한다.
• 마지막으로, 논문은 KMS 상태 측도 $\mu_{y,\theta}$가 하우스도르프 측도 $H^\theta$와 정확히 일치함을 증명하며, 이는 측도 이론적 직접적 대응을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 게이지 작용 하에서 $k$-그래프 $C^*$-대수의 KMS 상태가 존재하는 역온도 $\beta$는 무엇인가?
• RQ2 KMS 상태는 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상의 측도에 대해 어떻게 매개되는가?
• RQ3 일반화된 게이지 동역학 하에서 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$의 기하학적 및 측도론적 구조는 어떠한가?
• RQ4 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원은 KMS 상태의 역온도 $\beta$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 KMS 상태 측도는 함수 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$에서 유도된 거리가 부여된 $\Lambda^\infty$ 상의 표준 하우스도르프 측도로 식별될 수 있는가?
• RQ6 초등거리 칸토어 집합 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원 $\theta$는 KMS 상태가 존재하는 역온도 $\beta$와 동일한가?

주요 결과

• 일반화된 게이지 작용 하에서 KMS 상태가 존재하는 역온도 $\beta$는 거리 $d_{y,\theta}$ 하에서 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원 $\theta$와 정확히 일치하는 경우에 한하여 성립한다.
• KMS 상태는 $\Lambda$의 주기성 군과 $\Lambda^\infty$ 상의 Borel 확률 측도의 가족에 의해 매개되며, 이 측도들이 정확히 하우스도르프 측도 $H^\theta$임을 보였다.
• 초등거리 칸토어 집합 $(\Lambda^\infty, d_{y,\theta})$의 하우스도르프 차원 $\theta$는 자기유사 가중치 $w_{y,\theta}$의 지수와 같으며, 이 $\theta$는 KMS 상태 존재의 임계 역온도이다.
• 무한 경로 공간 $\Lambda^\infty$ 상의 하우스도르프 측도 $H^\theta$는 정확히 KMS 상태 측도 $\mu_{y,\theta}$와 일치하며, 모든 실린더 집합 $Z(\lambda)$에 대해 $H^\theta(Z(\lambda)) = \mu_{y,\theta}(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$임을 보였다.
• 조건 (w-I) 또는 (w-II) 하에서, 거리 $d_{y,\theta}$ 하에서 $\Lambda^\infty$의 하우스도르프 차원은 $\theta$이며, 이 차원은 KMS 상태의 존재를 지배한다.
• 함수 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$와 관련된 자기유사 가중치를 통해 거리 $d_{y,\theta}$를 구성함으로써, 결과로 얻어진 공간은 잘 정의된 하우스도르프 구조를 지닌 초등거리 칸토어 집합이 된다.