[논문 리뷰] Generalized Heisenberg groups and Shtern's question

Michael Megrelishvili|ArXiv.org|2004. 11. 06.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 노름 공간 $X$에 대해 일반화된 하이젠베르크 군 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 안에서 부분군 $X$와 $X^*$가 상대적으로 최소임을 증명한다. 또한 $G = H(L_4[0,1])$는 반사적으로 표현 가능하지만, 힐베르트 공간에서의 약한 연속 단위 표현이 점을 분리하지 못함을 증명하여, A. 셉턴이 제기한 그룹이 존재하는지에 대한 질문에 답한다.

ABSTRACT

Let H(X) be the generalized Heisenberg group induced by a normed space X. We prove that X is a relatively minimal subgroup of H(X). We show that the group $G:=H(L_4[0,1])$ is reflexively representable but weakly continuous unitary representations of G in Hilbert spaces do not separate points of G. This answers a question of A. Shtern.

연구 동기 및 목표

• Hilbert 공간에서의 약한 연속 단위 표현이 점을 분리하지 못하는 반사적으로 표현 가능한 위상군의 존재성에 관한 A. 셉턴의 질문을 해결하기 위해.
• 모든 노름 공간 $X$에 대해 일반화된 하이젠베르크 군 $H(X)$ 내부에서 부분군 $X$와 $X^*$의 상대적 최소성 증명하기.
• $L_p$-공간 위의 함수에 대한 이중극한성질(DLP)을 분석하여, $H(L_4[0,1])$에서 특정 함수의 약한 거의 폴리오드릭성 확인하기.
• $G = H(L_4[0,1])$가 유계 연속 함수를 통해 반사적으로 표현 가능함을 보여주며, 이 함수는 약한 거의 폴리오드릭이지만 점을 분리하지 못함을 입증하기.
• 단위 표현에서 점의 분리 실패가 $L_4$와 $L_{4/3}$ 쌍대공간의 구조와 관련되어 있음을 밝혀내며, DLP와 에버라인-슐리안 정리에 기반한다.

제안 방법

• 표준 쌍대성 쌍 $w: X \times X^* \to \mathbb{R}$를 사용하여 일반화된 하이젠베르크 군 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$를 정의하고, 군 연산 $(r_1,x_1,f_1) \cdot (r_2,x_2,f_2) = (r_1 + r_2 + f_1(x_2), x_1 + x_2, f_1 + f_2)$를 설정한다.
• 몫 사상 $q: (H(X), \sigma) \to X \times X^*$의 연속성을 이용하여, $H(X)$ 위의 임의의 더 우아한 하우스도르프 군 위상이 $X$와 $X^*$에 원래 위상 유도함을 보여, $X$와 $X^*$의 상대적 최소성을 증명한다.
• $G = H(L_4[0,1])$ 위에서 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$로 정의된 유계 연속 함수를 구성하여 항등원을 닫힌 집합에서 분리한다.
• 모든 구성 요소 함수 $\|f\|$, $\|x\|$, $f(x)$에 대해 이중극한성질(DLP)을 확인함으로써 $\phi$가 약한 거의 폴리오드릭(wap)임을 입증한다.
• Shoenberg의 결과를 적용하여 $1 \leq p \leq 2$일 때 $f \mapsto e^{-\|f\|^p}$가 $L_p$에서 정의된 양의 정의 함수임을 보이고, 이로부터 이러한 함수들이 wap임을 확인함으로써 $\|f\|$의 $L_{4/3}$에서의 DLP를 확인한다.
• 에버라인-슐리안 정리를 적용하여 $L_4$와 $L_{4/3}$의 유계 수열에서 약한 수렴하는 부분수열을 추출하고, 쌍대성 쌍의 개별 연속성을 이용하여 이중극한 $\lim_m \lim_n f_n(y_m) = \lim_n \lim_m f_n(y_m)$을 동치로 만든다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사적으로 표현 가능한 위상군 중에서 힐베르트 공간에서의 약한 연속 단위 표현이 점을 분리하지 못하는 것이 존재하는가?
• RQ2 모든 노름 공간 $X$에 대해 일반화된 하이젠베르크 군 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 내에서 부분군 $X$와 $X^*$가 상대적으로 최소인가?
• RQ3 $H(L_4[0,1])$ 위에서 함수 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$가 이중극한성질(DLP)을 만족하는가? 이는 약한 거의 폴리오드릭성을 의미한다.
• RQ4 유계 수열이 존재하는 조건 하에 $L_4$와 $L_{4/3}$에서 이중극한 $\lim_m \lim_n f_n(y_m)$과 $\lim_n \lim_m f_n(y_m)$이 동일한지 입증할 수 있는가?
• RQ5 $c_0$의 노름은 DLP를 만족하지 못하는 유일한 $L_p$-공간 노름인가? 그리고 이는 단위 표현에서 점의 분리 실패와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 노름 공간 $X$에 대해 일반화된 하이젠베르크 군 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 내에서 부분군 $X$와 $X^*$는 상대적으로 최소이다. 즉, $H(X)$ 위의 임의의 더 우아한 하우스도르프 군 위상은 $X$와 $X^*$에 원래 위상을 유도한다.
• $G = H(L_4[0,1])$는 반사적으로 표현 가능하다. 이는 강한 연산자 위상에서 반사적 바나흐 공간의 등장사상 군에 연속적 임bedding이 존재하기 때문이다.
• $G$ 위에서 함수 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$는 약한 거의 폴리오드릭이다. 이는 모든 구성 요소 함수에 대해 이중극한성질(DLP)을 만족하기 때문이다.
• $L_{4/3}$에서 $\|f\|$에 대해 DLP가 성립한다. 왜냐하면 $f \mapsto e^{-\|f\|^{4/3}}$가 $L_{4/3}$에서 양의 정의 함수이기 때문이며, 양의 정의 함수는 항상 약한 거의 폴리오드릭이기 때문이다.
• $L_4$에서 $\|x\|$에 대해 DLP가 성립한다. 이는 논문의 보조정리 3.3.5에 의해 $1 \leq p \leq 2$일 때 $L_p$의 노름에 대해 DLP가 성립함을 보여주기 때문이다.
• $L_4$와 $L_{4/3}$의 유계 수열에 대해 이중극한 $\lim_m \lim_n f_n(y_m) = \lim_n \lim_m f_n(y_m)$이 성립한다. 이는 약한 순서 수렴성과 쌍대성 쌍의 개별 연속성 덕분이며, 이는 쌍의 항목에 대한 DLP를 해결한다.