[논문 리뷰] Generalized hybrid momentum maps and reduction by symmetries of forced mechanical systems with inelastic collisions

Leonardo Colombo, Manuel de León외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 05.

Dynamics and Control of Mechanical Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비탄성 충돌이 있는 강제 기계계에서 대칭 축소를 가능하게 하기 위해 일반화된 하이브리드 운동량 매핑을 도입한다. 이는 고전적인 Routh 및 Marsden-Weinstein 축소를 하이브리드 시스템으로 확장한 것으로, 시간에 의존하는 대칭성, 외부 힘, 비탄성 충돌을 수반한 비자율적 및 자율적 시스템에 대한 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 운동량 매핑이 충돌 시에 변화하는 상황에서, 각 충돌 간격 동안의 축소된 시스템의 순서를 유도하는 것이다.

ABSTRACT

This paper discusses reduction by symmetries for autonomous and non-autonomous forced mechanical systems with inelastic collisions. In particular, we introduce the notion of generalized hybrid momentum map and hybrid constants of the motion to give general conditions on whether it is possible to perform symmetry reduction for Hamiltonian and Lagrangian systems subject to non-conservative external forces and non-elastic impacts, as well as its extension to time-dependent mechanical systems subject to time-dependent external forces and time-dependent inelastic collisions. We illustrate the applicability of the method with examples and numerical simulations.

연구 동기 및 목표

• 비보존적 힘과 비탄성 충돌을 겪는 하이브리드 기계계에 대해 대칭 축소 기법을 일반화함으로써, 기존의 운동량 매핑이 유지되지 않는 상황에 대응하고자 한다.
• 강제적이고 비자율적이며 하이브리드인 기계계에서 비탄성 충돌이 발생할 경우, 체계적인 축소 프레임워크의 부재를 해결하고자 한다.
• 비탄성 충돌 시 운동량이 변화하는 상황을 수용할 수 있도록 하이브리드 운동량 매핑의 개념을 일반화함으로써, 충돌 간격을 넘어선 축소를 가능하게 하고자 한다.
• 라그랑지안 및 해밀토니안 설정 모두에서 기하학적 프레임워크를 제공함으로써, 시간에 의존하는 시스템을 포함한 축소를 가능하게 하고자 한다.
• 시간에 의존하는 스위칭 표면과 비탄성 충돌을 수반하는 회전 및 평행 이동 자유도를 가진 기계계에서의 응용 사례를 통해 이론의 적용 가능성을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 비탄성 충돌 시에도 운동량 값이 변화하더라도 보존량을 추적할 수 있는 일반화된 하이브리드 운동량 매핑의 개념을 도입한다.
• 일관성을 확보하기 위해 일반화된 운동량 매핑을 사용하여 하이브리드 시스템의 연속적 및 이산적 역학을 모두 고려한 해밀토니안 및 라그랑지안 프레임워크에서의 축소 절차를 수립한다.
• 시간에 의존하는 라그랑지안과 외부 힘을 수반한 비자율적 시스템으로의 축소를 확장하기 위해 코심플렉틱 기하학의 기하학적 프레임워크를 활용한다.
• 운동량 매핑 값에 기반하여 축소된 스위칭 표면과 충격 매핑을 정의함으로써, 각 충돌 이후 축소된 공간에서 궤적 복원이 가능하도록 한다.
• 시간에 따라 움직이는 두 벽 사이에서 디스크가 반복적으로 충돌하는 시간에 의존하는 기계계에 이론을 적용하며, 충격 매핑이 각각의 각운동량 및 선운동량 성분을 변화시킴을 보여준다.
• 운동량 매핑 성분을 통해 시스템을 기술함으로써 축소된 역학을 유도하며, 축소된 시스템이 운동량 값에 따라 인덱싱된 다양한 심플렉틱 다양체 위에서 진화함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비탄성 충돌이 발생할 경우 운동량 매핑이 유지되지 않는 하이브리드 기계계에 대해 대칭 축소를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 강제 기계계에서 비탄성 충돌 시 운동량이 변화하는 것을 고려할 수 있는 일반화된 하이브리드 운동량 매핑을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 시간에 의존하는 대칭성과 외부 힘을 수반한 비자율적 시스템에서 축소 절차가 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 비탄성 충돌과 비보존적 힘을 수반할 경우, 기존의 Routh 또는 Marsden-Weinstein 축소와 이 프레임워크는 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 시간에 의존하는 스위칭 표면과 충격 매핑을 수반하는 시스템, 예를 들어 움직이는 벽과 충돌하는 디스크와 같은 시스템에 이 이론을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 하이브리드 운동량 매핑은 운동량 매핑 값이 충돌 시에 변화하는 비탄성 충돌이 있는 시스템에서도 대칭 축소를 가능하게 하며, 이는 기존의 표준 하이브리드 운동량 매핑과는 다릅니다.
• 예제 25에서 운동량 매핑 $(\bar{J}_L)_F = (mr^2\dot{\theta}, mk^2\dot{\vartheta})$ 는 일반화된 하이브리드 운동량 매핑이지만 표준 하이브리드 운동량 매핑은 아니며, $\mu_1^+ = -\mu_1^-$ 및 $\mu_2^+ = \mu_2^-$ 이므로 첫 번째 성분에서 변화가 있음을 나타냅니다.
• 축소된 스위칭 표면 $S_{(\mu_1,\mu_2)}$ 는 운동량 매핑 값에 의존하며, $r\sin\varphi = R$ 또는 $r\sin\varphi = f(t) - R$ 로 정의되며, 조건 $\dot{r}\cos\varphi - r\frac{\mu_1}{mr^2}\sin\varphi = R\frac{\mu_2}{mk^2}$ 를 포함합니다.
• 비자율적 시스템의 경우 코심플렉틱 프레임워크를 통해 방법이 확장되어 시간에 의존하는 라그랑지안과 충격 매핑을 수반하는 시스템에서의 축소를 가능하게 합니다.
• 각 충격 이후의 축소된 역학은 운동량 매핑 값에 따라 인덱싱된 서로 다른 심플렉틱 다양체 위에서 진화하며, 이는 운동량 값에 따라 인덱싱된 축소된 하이브리드 시스템의 순서를 이룹니다.
• 수치 시뮬레이션은 축소의 타당성을 확인하며, 다수의 충격 사건 동안 축소된 공간에서 일관된 궤적 복원이 이루어짐을 보여줍니다.