[논문 리뷰] Generalized Kenmotsu Manifolds

Aysel Turgut Vanlı, Ramazan Sarı|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 04.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $(2n+s)$차원의 $s$-contact metric 다양체 위에서 정의된, Kenmotsu 다양체의 고차원 확장인 일반화된 Kenmotsu 다양체를 제안한다. 거의 $s$-contact metric 다양체가 일반화된 Kenmotsu 다양체가 되기 위한 필요충분조건을 확립하고, 이러한 다양체가 국소적으로 와핑된 곱 공간임을 증명하며, 반대칭 또는 프로젝티브 반대칭 곡률 조건 하에서 $\varphi$-절단 곡률이 $-s$임을 보인다.

ABSTRACT

In 1972, K. Kenmotsu studied a class of almost contact Riemannian manifolds. Later, such a manifold was called a Kenmotsu manifold. This paper, we studied Kenmotsu manifolds with $(2n+s)$-dimensional $s-$contact metric manifold and this manifold, we have called generalized Kenmotsu manifolds. Necessary and sufficient condition is given for an almost $s-$contact metric manifold to be a generalized Kenmotsu manifold.We show that a generalized Kenmotsu manifold is a locally warped product space. In addition, we study some curvature properties of generalized Kenmotsu manifolds. Moreover, we show that the $φ$% -sectional curvature of any semi-symmetric and projective semi-symmetric $% (2n+s)$-dimensional generalized Kenmotsu manifold is $-s$.

연구 동기 및 목표

• $(2n+1)$차원의 경우에서 일반화된 Kenmotsu 다양체를 $s > 1$인 고차원 $s$-contact metric 다양체로 확장하는 것.
• 거의 $s$-contact metric 다양체가 일반화된 Kenmotsu 다양체가 되기 위한 필요충분조건을 규명하는 것.
• 일반화된 설정에서 리치 곡률 및 절단 곡률과 같은 곡률 성질을 조사하는 것.
• 일반화된 Kenmotsu 다양체가 국소적으로 와핑된 곱 공간임을 증명하는 것.
• 반대칭 또는 프로젝티브 반대칭 곡률 조건 하에서 $\varphi$-절단 곡률의 값을 결정하는 것.

제안 방법

• Kenmotsu의 원래 방정식과 유사한 수정된 곡률 조건을 만족하는 $(2n+s)$차원의 $s$-contact metric 다양체로 일반화된 Kenmotsu 다양체를 정의한다.
• 리만 접속 $\nabla$와 곡률 텐서 $R$을 사용하여 $\varphi$, $\xi_i$, $\eta^i$, $g$를 포함하는 구조적 항등식을 유도한다.
• Nijenhuis 토크션과 텐서장 $N^1$, $N^2$을 적용하여 정상성 및 적분 가능성 조건을 특성화한다.
• 와핑된 곱 공간 $L^s \times_f V^{2n}$을 모델 예시로 활용하여 일반화된 구성의 타당성을 검증한다.
• 리만 곡률 텐서와 Weyl 프로젝티브 텐서를 통해 반대칭 및 프로젝티브 반대칭 곡률 조건을 분석한다.
• 리치 텐서 $S$, $\nabla S$, $\eta$-평행성과 관련된 텐서 항등식을 유도하고 변형하여 곡률 제약 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 $s$-contact metric 다양체가 일반화된 Kenmotsu 다양체가 되기 위한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 Kenmotsu 다양체의 곡률 구조는 표준 Kenmotsu 다양체와 어떻게 다를까?
• RQ3 일반화된 Kenmotsu 다양체가 국소적으로 와핑된 곱 공간이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\varphi$-절단 곡률의 값은 반대칭 및 프로젝티브 반대칭 일반화된 Kenmotsu 다양체에서 얼마인가?
• RQ5 일반화된 Kenmotsu 다양체에서 리치 텐서 $\eta$-평행이 되는 경우는 언제이며, 이는 곡률에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 거의 $s$-contact metric 다양체가 일반화된 Kenmotsu 다양체가 되기 위한 필요충분조건은 $\nabla\varphi$, $d\Phi$, 그리고 Nijenhuis 토크션을 포함하는 특정 곡률 항등식으로 주어진다.
• 일반화된 Kenmotsu 다양체는 국소적으로 $f(t) = ce^t$인 와핑된 곱 공간 $L^s \times_f V^{2n}$과 등거리이다.
• 모든 반대칭 $(2n+s)$차원 일반화된 Kenmotsu 다양체의 $\varphi$-절단 곡률은 정확히 $-s$이다.
• 모든 프로젝티브 반대칭 $(2n+s)$차원 일반화된 Kenmotsu 다양체의 $\varphi$-절단 곡률 역시 $-s$이다.
• 리치 반대칭인 일반화된 Kenmotsu 다양체는 $S(X,Y) = -2n\{s g(\varphi X, \varphi Y) + \sum_{i,j=1}^s \eta^i(X)\eta^j(Y)\}$를 만족하며, 이는 $s=1$일 때 에인슈타인 구조를 뜻한다.
• $s=1$일 때, 프로젝티브 반대칭인 Kenmotsu 다양체는 $\varphi$-절단 곡률이 $-1$일 때에만 에인슈타인 구조를 이룬다.