[논문 리뷰] Generalized Krein formula and determinants for Poincare-Einstein manifolds

Colin Guillarmou|arXiv (Cornell University)|2005. 12. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 짝수 차원 Poincaré-Einstein 다양체에 대해 일반화된 Krein 스펙트럼 함수 ξ를 도입하며, Kontsevich-Vishik 2-트레이스를 통해 산란 연산자와 연결한다. 산란 연산자 행렬식을 경계의 등각 불변량으로서 λ에 대해 유리형 함수로 정의하고, ξ를 det S(λ)의 위상과 연결하며, 볼록 공호모르픽 하이퍼볼릭 다양체에서 등각 라플라스 연산자 Pk의 행렬식을 Selberg zeta 함수로 표현한다.

ABSTRACT

Abstract. We define for a class of even dimensional asymptotically hyperbolic manifold (X, g) a natural generalized Krein spectral function ξ (on R) with derivative the renormalized trace of the spectral measure of the Laplacian. It is related to the scattering operator S(λ) of ∆g by −2πi∂zξ(z) = TR(∂zS ( n 2 + iz)S−1 ( n − iz)) where TR is the Kontsevich-Vishik 2 trace. For even Poincaré-Einstein metrics, we define the determinant of S(λ) using methods of Kontsevich-Vishik and show that it is a conformal invariant of the conformal boundary (M,[h0]) depending meromorphically on λ, with divisors given by the resonances multiplicity and the dimensions of kernels of the conformal Laplacians (Pk)k∈N of [h0]. We finally prove that ξ is the phase of det S(λ) on the essential spectrum, we compute the determinant of Pk with respect to ξ and, as an application, det Pk is expressed explicitly in term of the Selberg zeta function for convex co-compact hyperbolic manifolds. 1.

연구 동기 및 목표

• 짝수 차원의 점점 하이퍼볼릭 다양체에 대해 일반화된 Krein 스펙트럼 함수 ξ를 정의하기.
• Kontsevich-Vishik 2-트레이스를 통해 라플라스 연산자 스펙트럼 측도의 재정렬된 트레이스를 통해 ξ를 라플라스 연산자의 스펙트럼 이론과 연결하기.
• Kontsevich-Vishik 방법을 사용하여 Poincaré-Einstein 계량에 대해 산란 연산자 S(λ)의 행렬식을 구성하기.
• det S(λ)가 경계 (M, [h0])의 등각 불변량이며, 영점과 극이 리소난스와 Pk의 핵차원과 관련된 유리형 함수임을 보여주기.
• ξ를 본질적 스펙트럼 상에서 det S(λ)의 위상으로 식별하고, det Pk를 Selberg zeta 함수로 표현하기.

제안 방법

• 라플라스 연산자 ∆g의 스펙트럼 측도의 재정렬된 트레이스를 사용하여 R 위에 일반화된 Krein 함수 ξ(z)를 정의하기.
• Kontsevich-Vishik 2-트레이스 TR을 사용하여 관계식 −2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz)) 유도하기.
• Kontsevich-Vishik 이론을 적용하여 Poincaré-Einstein 계량에 대해 산란 연산자 S(λ)의 행렬식을 정의하기.
• det S(λ)가 λ에 대해 유리형 함수이며, 경계 계량 [h0]의 등각 변화에 대해 불변임을 증명하기.
• det S(λ)의 영점과 극이 리소난스의 중복도와 등각 라플라스 연산자 (Pk)k∈N의 핵차원과 대응됨을 보여주기.
• ξ(z)가 본질적 스펙트럼 상에서 det S(λ)의 위상임을 확립하고, det Pk를 Selberg zeta 함수로 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 차원의 점점 하이퍼볼릭 다양체에 대해 일반화된 Krein 스펙트럼 함수 ξ는 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 Kontsevich-Vishik 2-트레이스를 통해 ξ와 산란 연산자 S(λ) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 det S(λ)는 경계 (M, [h0])에서 등각 불변량으로서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 ξ는 본질적 스펙트럼 상에서 det S(λ)의 위상으로서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 등각 라플라스 연산자 Pk의 행렬식은 Selberg zeta 함수를 통해 명시적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 Krein 함수 ξ는 짝수 차원의 점점 하이퍼볼릭 다양체에 대해 정의되며, −2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz))를 만족한다.
• 산란 연산자 S(λ)의 행렬식은 경계 (M, [h0])의 등각 불변량이며, 리소난스에서 극을, Pk의 핵차원에서 영점을 가진다.
• ξ(z)는 본질적 스펙트럼 상에서 det S(λ)의 위상으로 식별되어 스펙트럼 자료와 산란 이론을 연결한다.
• 각 등각 라플라스 연산자 Pk의 행렬식은 볼록 공호모르픽 하이퍼볼릭 다양체에서 Selberg zeta 함수로 명시적으로 계산된다.
• 이 구성은 경계에서 기하학적 연산자의 행렬식을 통해 Selberg zeta 함수의 스펙트럼적 실현을 제공한다.
• 이 방법은 산란 이론, 스펙트럼 불변량, 그리고 기하 해석학에서 산술 zeta 함수 사이의 깊은 연결을 확립한다.