[논문 리뷰] Generalized L$_p$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using cross-gradient constraint

Saeed Vatankhah, Shuang Liu외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 10.

Geophysical and Geoelectrical Methods참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중력 및 자석 데이터의 통합 Lp-노름 공동 역설계 프레임워크를 제안하며, 밀도 및 자화율 모델 간의 구조적 유사성을 향상시키기 위해 교차 기울기 제약 조건을 사용한다. L0, L1, L2 안정화 요소를 통합하고, 적응형 정규화를 사용하는 반복 공액 기울기 최적화를 적용함으로써, 개별 역설계와 비교할 때 더 나은 물리적 타당성을 갖춘 지하 구조의 재구성 결과를 도출한다. 이는 매끄럽고 블록형 특징을 모두 갖는 3D 시뮬레이션 모델에 대해 효과를 입증한다.

ABSTRACT

A generalized unifying approach for $L_{p}$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using the cross-gradient constraint is presented. The presented framework incorporates stabilizers that use $L_{0}$, $L_{1}$, and $L_{2}$-norms of the model parameters, and/or the gradient of the model parameters. Furthermore, the formulation is developed from standard approaches for independent inversion of single data sets, and, thus, also facilitates the inclusion of necessary model and data weighting matrices that provide, for example, depth weighting and imposition of hard constraint data. The developed efficient algorithm can, therefore, be employed to provide physically-relevant smooth, sparse, or blocky target(s) which are relevant to the geophysical community. Here, the nonlinear objective function, that describes the inclusion of all stabilizing terms and the fit to data measurements, is minimized iteratively by imposing stationarity on the linear equation that results from applying linearization of the objective function about a starting model. To numerically solve the resulting linear system, at each iteration, the conjugate gradient algorithm is used. The general framework is then validated for three-dimensional synthetic models for both sparse and smooth reconstructions, and the results are compared with those of individual gravity and magnetic inversions. It is demonstrated that the presented joint inversion algorithm is practical and significantly improves reconstructed models obtained by independent inversion.

연구 동기 및 목표

• 단일 최적화 체계 내에서 다수의 안정화 요소(L0, L1, L2)를 통합한 중력 및 자석 데이터 공동 역설계의 일반화된 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 물리적 관계가 필요 없이 밀도 및 자화율 모델 간의 구조적 유사성을 강제하기 위해 교차 기울기 제약 조건을 통합하는 것.
• Lp-노름 파라미터 및 정규화 가중치 선택을 통해 최종 모델의 특성—매끄럽거나 희박하거나 블록형—을 민감하게 제어할 수 있도록 하는 것.
• 심도 가중치, 경계 조건, 딱딱한 제약 조건을 공동 역설계 과정에 통합함으로써 역설계의 안정성과 정확도를 향상시키는 것.
• 3D 시뮬레이션 모델을 대상으로 방법을 검증하고, 개별 중력 및 자석 역설계 결과와 비교하여 우수한 재구성 성능을 입증하는 것.

제안 방법

• 비선형 목적 함수는 데이터 오차, 모델 매개변수 또는 그 기울기의 일반화된 Lp-노름 안정화 요소, 그리고 모델 간의 구조적 특징을 일치시키기 위한 교차 기울기 제약 조건을 통합한다.
• 목적 함수는 초기 모델을 기준으로 선형화하고, 각 반복 단계에서 공액 기울기(CG) 알고리즘을 사용하여 유도된 선형 시스템을 해결함으로써 반복적으로 최소화된다.
• 정규화 파라미터는 반복 과정 중에 적응적으로 조정되며, 초기에는 크게 설정하고 시간이 지남에 따라 감소시킨다. 교차 기울기 항에는 균형 가중치가 적용된다.
• 심도 가중치와 딱딱한 제약 조건 행렬을 통합하여 깊은 곳의 해상도를 향상시키고, 알려진 모델 값들을 포함시키며, 각 반복 단계에서 경계 제약 조건을 적용한다.
• Lp-노름에서 p의 선택을 통해 L0, L1, L2 등 다양한 안정화 요소를 지원함으로써 최종 모델의 매끄러움, 희박성 또는 블록형 특성을 제어할 수 있다.
• 알고리즘은 알려진 밀도 및 자화율 분포를 갖는 3D 시뮬레이션 모델을 대상으로 검증되었으며, 독립적인 역설계 결과와 공동 역설계 결과를 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통합 Lp-노름 프레임워크는 중력 및 자석 데이터 공동 역설계에 있어 L0, L1, L2 안정화 요소를 효과적으로 통합할 수 있는가?
• RQ2 교차 기울기 제약 조건이 공동 역설계된 밀도 및 자화율 모델 간의 구조 일致성과 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 이 방법은 매끄럽고 블록형 지하 구조를 어느 정도 정확하게 재구성할 수 있으며, 개별 역설계 결과와 비교해 볼 때 어떤 성능을 보이는가?
• RQ4 적응형 정규화 파라미터 조정 및 심도 가중치 적용이 역설계 수렴성과 모델 정밀도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일부 특징(예: 기울어진 다이크 또는 수직 다이크)에 대한 데이터 지원이 부분적으로만 존재할 경우에도 이 방법은 신뢰할 수 있게 지하 구조를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 교차 기울기 제약 조건을 포함한 공동 역설계는 시뮬레이션 모델에서 기울어진 다이크와 수직 다이크를 성공적으로 재구성하였으며, 밀도 및 자화율 모델 간의 구조적 특징이 진짜 모델과 매우 유사하게 일치하였다.
• L1-노름 안정화 요소의 경우, 재구성된 모델 간에 밀도 및 자화율 분포 간 높은 구조적 유사성이 나타났으며, 알고리즘이 지원되지 않는 구조(예: 수직 다이크에 대해 자화율 반응이 없는 경우)를 정확히 생략하는 데 성공하였다.
• L1-노름 케이스에서는 58회 반복 내에 수렴하였고, L2-노름 기울기 케이스에서는 최대 100회 반복을 달성하여, 다양한 안정화 요소에 대해 안정적인 수렴을 보였다.
• 개별 중력 및 자석 역설계 결과와 비교해 볼 때, 공동 역설계를 통한 재구성 모델은 특히 복잡한 3D 기하 구조를 해석하는 데 있어 훨씬 높은 정확도와 구조 일치성을 보였다.
• 초기 정규화 파라미터를 크게 설정하고 반복 과정에서 점차 감소시키는 적응형 정규화 전략은 수렴 안정성 향상과 모델 품질 향상에 효과적이었다.
• 심도 가중치와 딱딱한 제약 조건을 성공적으로 통합하여 깊은 곳의 구조 해상도 향상과 모델 내 알려진 값의 통합이 가능해졌다.