[논문 리뷰] Generalized Lagrangian mean curvature flows in symplectic manifolds

Knut Smoczyk, Mu‐Tao Wang|ArXiv.org|2009. 10. 14.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약간 카플러 다양체에서 메트릭과 복소 접속 $\widehat{\nabla}$를 사용하여 일반화된 라그랑주 평균 곡률 흐름을 도입한다. 이 접속은 리치 형식에 대한 아인슈타인 조건을 만족한다. 이 흐름은 $\widehat{\rho} = f\omega$일 때 라그랑주 조건을 유지하며, 코타angent 번들의 경우와 약간 아인슈타인 카플러 다양체를 포함한 더 넓은 심플렉틱 설정으로 고전적 흐름을 일반화한다.

ABSTRACT

An almost Kähler structure on a symplectic manifold $(N, ω)$ consists of a Riemannian metric $g$ and an almost complex structure $J$ such that the symplectic form $ω$ satisfies $ω(\cdot, \cdot)=g(J(\cdot), \cdot)$. Any symplectic manifold admits an almost Kähler structure and we refer to $(N, ω, g, J)$ as an almost Kähler manifold. In this article, we propose a natural evolution equation to investigate the deformation of Lagrangian submanifolds in almost Kähler manifolds. A metric and complex connection $\hn$ on $TN$ defines a generalized mean curvature vector field along any Lagrangian submanifold $M$ of $N$. We study the evolution of $M$ along this vector field, which turns out to be a Lagrangian deformation, as long as the connection $\hn$ satisfies an Einstein condition. This can be viewed as a generalization of the classical Lagrangian mean curvature flow in Kähler-Einstein manifolds where the connection $\hn$ is the Levi-Civita connection of $g$. Our result applies to the important case of Lagrangian submanifolds in a cotangent bundle equipped with the canonical almost Kähler structure and to other generalization of Lagrangian mean curvature flows, such as the flow considered by Behrndt \cite{b} in Kähler manifolds that are almost Einstein.

연구 동기 및 목표

• 비카플러-아인슈타인 구조를 갖는 일반적인 약간 카플러 다양체에서 라그랑주 부분다양체에 대한 일반화된 평균 곡률 흐름을 정의하는 것.
• 일반적인 심플렉틱 다양체에서 고전적 평균 곡률 흐름이 라그랑주 조건을 유지하지 못하는 데서 비롯되는 문제를, 접속 $\widehat{\nabla}$를 통한 일반화된 평균 곡률 벡터의 도입으로 해결하는 것.
• 일반화된 흐름이 라그랑주 조건을 유지하는 조건을 확립하여, 기존 결과를 비카플러 및 비아인슈타인 설정으로 일반화하는 것.
• 이 흐름이 코타angent 번들과 같은 중요한 기하학적 예제, 즉 캐논칼 약간 카플러 구조를 갖는 코타angent 번들과 약간 아인슈타인 카플러 다양체에 적용됨을 보여주는 것.
• 고전적 라그랑주 평균 곡률 흐름과 베른트의 수정된 흐름을 포함한 기존 흐름들을 하나의 프레임워크로 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 근처 라그랑주 부분다양체에서 메트릭과 복소 접속 $\widehat{\nabla}$를 사용하여 일반화된 평균 곡률 벡터 $\vec{\widehat{H}}$를 정의한다.
• $\widehat{\nabla}$에 대한 아인슈타인 조건을 도입하여, 그 리치 형식 $\widehat{\rho}$가 어떤 스무스 함수 $f$에 대해 $\widehat{\rho} = f\omega$를 만족하도록 한다.
• 초기 조건 $F(M,0) = M_0$를 갖는 진화 방정식 $\frac{\partial F}{\partial t} = \vec{\widehat{H}}$로서 일반화된 평균 곡률 흐름을 구성한다.
• 카르탕의 공식과 곡률 항등식을 사용하여 $\frac{\partial}{\partial t} F^*\omega = \Delta(F^*\omega) + \text{낮은 차수의 항들}$임을 보이고, 이는 라그랑주 조건의 유지에 기여한다.
• 포물선 정규성과 단기 존재 이론을 적용하여 컴팩트한 초기 라그랑주 부분다양체에 대해 매끄러운 해를 확보한다.
• 일반화된 평균 곡률 1-form $\widehat{H}$의 닫힘성과 아인슈타인 조건을 활용하여 $F^*\omega$의 진화를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약간 카플러 다양체에서 접속 $\widehat{\nabla}$에 대해 어떤 조건이 일반화된 평균 곡률 흐름이 라그랑주 조건을 유지하는가?
• RQ2 카플러-아인슈타인 다양체에서 고전적 라그랑주 평균 곡률 흐름이 이 일반화된 프레임워크의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ3 코타angent 번들과 같은 비카플러 심플렉틱 다양체, 특히 캐논칼 약간 카플러 구조를 갖는 경우에 일반화된 흐름이 적용 가능한가?
• RQ4 $\widehat{\nabla}$의 토르션이 일반화된 평균 곡률 벡터와 라그랑주 조건 유지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크는 이전에 약간 아인슈타인 카플러 다양체에서 연구된 흐름, 예를 들어 베른트의 것과 같은 것을 수용할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 컴팩트한 초기 약간 라그랑주 부분다양체를 갖는 약간 카플러 다양체에서 일반화된 평균 곡률 흐름은 매끄럽게 존재하며, 최대 시간 $T \in (0, \infty]$이다.
• 흐름이 라그랑주 조건을 유지하는 것은 오직 $\widehat{\nabla}$가 아인슈타인 조건 $\widehat{\rho} = f\omega$를 만족할 때에 한하여 성립한다.
• 카플러-아인슈타인 다양체의 경우, $\widehat{\nabla}$를 리만-레비치비타 접속으로 선택하면 고전적 라그랑주 평균 곡률 흐름을 복원할 수 있다.
• 약간 아인슈타인 카플러 다양체의 경우, $\widehat{\nabla} = \nabla + \sigma \otimes J$이고 $\sigma = d^c\psi$일 때, 일반화된 흐름은 베른트의 수정된 흐름을 특수한 경우로 포함한다.
• 리만 다양체 $M$의 코타angent 번들의 경우, 캐논칼 접속 $\widehat{\nabla}$는 $f = 0$이므로 아인슈타인 조건을 만족하며, 이에 따라 라그랑주 부분다양체가 유지된다.
• $F^*\omega$의 진화는 포물선 부등식 $\frac{\partial}{\partial t}|F^*\omega|^2 \leq \Delta|F^*\omega|^2 + c|F^*\omega|^2$를 만족하며, 이는 $M_0$가 라그랑주일 경우 모든 시간에 대해 $F^*\omega \equiv 0$임을 보장한다.