[논문 리뷰] Generalized Local Fractional Taylor's Formula with Local Fractional Derivative

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 13.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 12인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 국소 분수 도함수(LFDs)를 사용한 일반화된 국소 분수 테일러 공식을 제안하며, 고전적 테일러 전개를 분수 집합과 미분 불가능한 함수로 확장한다. 이는 국소 분수 테일러 급수에 대한 엄밀한 프레임워크를 구축하며, 특히 미타그레플러 유형 함수에 대한 적용을 입증하여 분수 미적분학적 맥락에서의 근사와 급수 표현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the present paper, a generalized local Taylor formula with the local fractional derivatives (LFDs) is proposed based on the local fractional calculus (LFC). From the fractal geometry point of view, the theory of local fractional integrals and derivatives has been dealt with fractal and continuously non-differentiable functions, and has been successfully applied in engineering problems. It points out the proof of the generalized local fractional Taylor formula, and is devoted to the applications of the generalized local fractional Taylor formula to the generalized local fractional series and the approximation of functions. Finally, it is shown that local fractional Taylor series of the Mittag-Leffler type function is discussed.

연구 동기 및 목표

• 국소 분수 도함수를 사용하여 고전적 테일러 전개를 분수 영역으로 확장하기.
• 지속적으로 비미분 가능한 함수에 적용 가능한 일반화된 국소 분수 테일러 공식 개발하기.
• 국소 분수 급수 전개를 위한 이론적 기반 제공하기.
• 국소 분수 테일러 급수를 통한 함수 근사에서 공식의 유용성 입증하기.
• 미타그레플러 유형 함수의 국소 분수 테일러 급수 분석하기.

제안 방법

• 국소 분수 미적분학(LFC) 이론에 기반하여 일반화된 국소 분수 테일러 공식 유도하기.
• 국소 분수 도함수(LFDs)를 사용하여 분수 집합에서의 함수 행동 표현하기.
• 공식을 적용하여 일반화된 국소 분수 급수 전개 구축하기.
• 특정 함수에 대한 급수의 수렴성 및 표현 성질 설정하기.
• 유도된 테일러 공식을 사용하여 미타그레플러 유형 함수 분석하기.
• 이론적 유도와 분수 해석 함수의 응용을 통한 검증 수행하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 분수 도함수를 사용하여 분수 집합에 정의된 함수에 대해 일반화된 테일러 전개를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소 분수 테일러 급수가 주어진 함수로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 국소 분수 테일러 공식은 미타그레플러 함수와 같은 특수 함수를 표현할 수 있는가?
• RQ4 비미분 가능한 맥락에서 국소 분수 테일러 공식은 고전적 테일러 전개와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 일반화된 국소 분수 테일러 급수는 분수 현상을 모델링하는 데 실용적으로 어떻게 응용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소 분수 도함수를 사용하여 일반화된 국소 분수 테일러 공식이 엄밀히 유도되었으며, 이는 분수 집합에서의 함수 전개를 가능하게 한다.
• 적절한 조건 하에서 원래 함수로 수렴하는 국소 분수 테일러 급수의 구축이 가능하다.
• 미타그레플러 유형 함수는 국소 분수 테일러 급수 표현을 갖는다. 이는 공식이 특수 함수에 적용 가능함을 입증한다.
• 이 방법은 비미분 가능하고 분수 연속적인 함수를 급수 전개를 통해 근사하는 프레임워크를 제공한다.
• 이론적 기반은 분수 기하학을 가진 복잡한 시스템 모델링에 국소 분수 급수의 사용을 뒷받침한다.
• 이 접근법은 비미분 가능한 설정으로 고전적 미적분 도구를 확장하여 분수 분석 분야에서 새로운 분석 기법을 가능하게 한다.