[논문 리뷰] Generalized Maiorana-McFarland Constructions for Almost Optimal Resilient Functions

Weiguo Zhang, Xiao Guo-zhen|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변수 수가 짝수이든 홀수이든 간에 높은 비선형성을 갖는 거의 최적의 내성 부울 함수를 생성하기 위해 일반화된 Maiorana-McFarland(GMM) 구축 방법을 제안한다. 고전적인 M-M 구축을 이원선형 코드와 단사 사상으로 확장함으로써, 짝수 $n$에 대해 $k < n/2$일 때 비선형성 값 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$를 달성하고, 홀수 $n$에 대해서는 Patterson-Wiedemann 또는 Kavut-Y"ucel 함수를 사용하여 더 높은 비선형성을 확보한다. 이 방법은 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2}$를 초과하는 다중 출력 내성 함수를 지원하며, 엄격한 화산 효과 기준(SAC)과 차수 최적화를 보장한다.

ABSTRACT

In a recent paper \cite{Zhang-Xiao}, Zhang and Xiao describe a technique on constructing almost optimal resilient functions on even number of variables. In this paper, we will present an extensive study of the constructions of almost optimal resilient functions by using the generalized Maiorana-McFarland (GMM) construction technique. It is shown that for any given $m$, it is possible to construct infinitely many $n$-variable ($n$ even), $m$-resilient Boolean functions with nonlinearity equal to $2^{n-1}-2^{n/2-1}-2^{k-1}$ where $k2^{n-2}-2^{(n-1)/2}$ ($n$ odd) by using Patterson-Wiedemann functions or Kavut-Y$\ddot{u}$cel functions. Finally, we provide a GMM construction technique for multiple-output almost optimal $m$-resilient functions $F: \mathbb{F}_2^n\mapsto \mathbb{F}_2^r$ ($n$ even) with nonlinearity $&gt;2^{n-1}-2^{n/2}$. Using the methods proposed in this paper, a large class of previously unknown cryptographic resilient functions are obtained.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법을 초월하여 향상된 비선형성을 갖는 거의 최적의 내성 부울 함수를 위한 일반화된 구축 기법을 개발하기 위해.
• 이원선형 코드와 단사 사상의 통합을 통해 고전적인 Maiorana-McFarland 클래스를 확장하여 비선형성과 내성도를 향상시키기 위해.
• 엄격한 화산 효과 기준(SAC)을 만족하면서도 높은 비선형성과 최적의 대수적 차수를 유지하는 내성 함수를 구축하기 위해.
• 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2}$를 초과하는 다중 출력 내성 함수 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$를 생성하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 내성 함수에 대한 비선형성의 이론적 상한을 탐색하고 이러한 상한의 날카러움에 대한 추측을 제시하기 위해.

제안 방법

• 이원선형 코드 $\{C_1, \dots, C_u\}$ 및 $\{C'_1, \dots, C'_v\}$를 사용한 일반화된 Maiorana-McFarland(GMM) 구축 방법을 제안하며, 각 코드의 차원은 $r$이며 최소 무게는 $m+1$ 이상이며, $u$와 $v$는 최대화된다.
• 집합 $E_0$와 $E_1$에서 $\mathbb{F}_2^{n/2}$로의 단사 사상 $\psi_i$와 $\phi_i$를 정의하며, 기저 사상에서 유도된 행렬 표현을 통해 코드 공간 $T_0$와 $T_1$으로 매핑한다.
• 함수 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$는 $X'_{n/2} \in E_0$이면 $f_i(X_n) = \psi_i(X'_{n/2}) \cdot X''_{n/2}$로 구성되며, $X'_{n-k} \in E_1$이면 $\phi_i(X'_{n-k}) \cdot X''_k$로 구성되며, $k$는 기수 조건에 의해 결정된다.
• 성분 함수의 월리스 변환 분석을 통해 최대 절대 월리스 계수를 제한함으로써 비선형성 표현식 $N_f = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$을 도출한다.
• 홀수 $n$에 대해서는 Patterson-Wiedemann 또는 Kavut-Y"ucel 함수를 활용하여 비선형성 $> 2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$를 달성한다.
• 사상과 코드 구조의 설계를 통해 모든 해밍 무게가 1인 $\alpha$에 대해 자기상관 함수가 0이 되도록 보장함으로써 SAC를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Maiorana-McFarland 구축은 짝수 $n$에 대해 $k < n/2$일 때 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$인 무한한 수의 $n$-변수, $m$-내성 부울 함수를 생성할 수 있는가?
• RQ2 GMM 구축은 결과로 얻어진 내성 함수가 엄격한 화산 효과 기준(SAC)을 만족하도록 수정될 수 있는가?
• RQ3 홀수 $n$에 대해 Patterson-Wiedemann 또는 Kavut-Y"ucel과 같은 알려진 고비선형성 함수를 사용하여 비선형성이 $2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$를 초과할 수 있는가?
• RQ4 GMM 프레임워크는 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2}$를 초과하는 다중 출력 내성 함수 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$로 확장될 수 있는가?
• RQ5 내성 함수에 대한 비선형성의 이론적 상한은 무엇이며, 이러한 상한은 얼마나 날카로운가?

주요 결과

• GMM 구축은 짝수 $n$에 대해 $k < n/2$일 때 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$인 무한한 수의 $n$-변수, $m$-내성 부울 함수를 생성하며, 거의 최적의 비선형성을 달성한다.
• 정교한 단사 사상과 코드 구조 설계를 통해 생성된 함수가 엄격한 화산 효과 기준(SAC)을 만족함을 보장한다.
• 홀수 $n \geq 12$에 대해 Patterson-Wiedemann 또는 Kavut-Y"ucel 함수를 사용하면 비선형성이 $2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$를 초과하는 내성 함수를 구축할 수 있으며, 이는 홀수 $n$에 대한 기존의 상한을 뛰어넘는다.
• 이 구축은 비선형성이 $2^{n-1} - 2^{n/2}$를 초과하는 다중 출력 함수 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$로 확장되며, $NF = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$를 달성한다.
• 생성된 함수의 대수적 차수는 최적화할 수 있으며, 이 방법은 차수 최적화된 내성 함수를 허용한다.
• 논문은 $m$-내성 함수에 대한 비선형성 상한의 날카러움에 관한 세 가지 추측을 제시하며, $m < \lceil n/4 \rceil$일 때 $N_f \leq 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{\lfloor n/4 \rfloor + m - 1}$이며, $\lceil n/4 \rceil \leq m \leq n/2 - 2$일 때 $N_f < 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{m+1}$임을 제안한다. 또한 다중 출력 함수의 경우 $m + r \leq n/2 - 1$이라는 조건을 제시한다.