[논문 리뷰] Generalized One-Particle Density Matrices and Quasifree States

Volker Bach, Breteaux, Sébastien외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 30.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입자 수 보존을 가정하지 않고 보손 및 페르미온 시스템에 대해 일반화된 일차 및 이차 밀도 행렬을 도입하며, 두 번째 차수까지의 표현 조건을 수립한다. 반한계 해밀토니안에 대해, 허위자유 상태 위에서 에너지 함수의 하한이 순수 허위자유 상태 위에서의 하한과 일치함을 증명하고, 일반화된 일차 밀도 행렬이 투영 연산자인 경우는 오직 순수 허위자유 상태일 때뿐임을 규명한다. 두 입자 종류 모두에서 이 성질이 성립한다.

ABSTRACT

In the spirit of the generalized one-particle density matrix for fermions, we introduce generalized one- and two-particle density matrices to state representability conditions up to second order for boson systems without assuming particle number-conservation. Furthermore, we show for both particle species that, for a semibounded Hamiltonian, the in?mum of the variation of the energy functional w.r.t quasifree states coincides with the one of a variation over pure quasifree states. Moreover, it is proven for fermions that only pure quasifree states have a generalized 1-pdm that is a projection, and a similar statement for bosons.

연구 동기 및 목표

• 입자 수 보존을 가정하지 않는 시스템을 넘어서 보손 및 페르미온에 대해 일반화된 일차 밀도 행렬의 개념을 확장하기.
• 입자 수 보존이 없는 시스템에서 일반화된 이차 밀도 행렬의 표현 조건을 유도하고, 보손 및 페르미온 시스템 모두에 적용 가능하도록 하기.
• 반한계 해밀토니안에 대해, 모든 허위자유 상태 위에서의 에너지 최소화가 순수 허위자유 상태 위에서의 최소화와 동일함을 증명하기.
• 일반화된 일차 밀도 행렬이 투영 연산자인 경우를 규명하기 — 이는 오직 보손 및 페르미온 모두에서 순수 허위자유 상태일 때만 성립함을 보여주기.
• 입자 수 보존 없이 보손 및 페르미온 모두에 대해 봉올리우보프–하르트리–포크 이론을 통합하고 일반화하여 동일한 허위자유 상태 프레임워크 내에서 다루기.

제안 방법

• 2차 양자화를 통해 보손 및 페르미온에 대한 일반화된 일차 밀도 행렬(1-pdm)을 도입하며, 순수 상태와 입자 수 보존을 초월한다.
• 혼합 상태 상관관계와 허위자유 상태의 구조를 포함하기 위해 7×7 블록 행렬 형태로 일반화된 이차 밀도 행렬(2-pdm)을 정의한다.
• 일반화된 1-pdm와 2-pdm로 표현된 에너지 함수에 레일리–리츠 변분 원리를 적용하여 허위자유 상태 위에서 최소화한다.
• 허위자유 상태의 구조를 활용하여 일반화된 2-pdm를 γ, α, β, Δ, B의 구성요소로 분해함으로써 혼합 상태의 표현이 가능하도록 한다.
• 봉올리우보프–하르트리–포크 에너지 함수를 적용하고, 반한계 해밀토니안 하에서 모든 허위자유 상태 위에서의 변분과 순수 허위자유 상태 위에서의 변분이 동치임을 증명한다.
• 일반화된 1-pdm가 투영 연산자인 조건을 분석하여, 이는 오직 페르미온 및 보손의 경우 모두에서 순수 허위자유 상태일 때만 성립함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 수 보존을 가정하지 않고 보손 및 페르미온에 대해 일반화된 일차 및 이차 밀도 행렬을 정의할 수 있는가?
• RQ2 입자 수 보존이 없는 시스템에서 일반화된 이차 밀도 행렬의 표현 조건은 무엇인가?
• RQ3 반한계 해밀토니안에 대해, 모든 허위자유 상태 위에서의 에너지 함수의 하한이 순수 허위자유 상태 위에서의 하한과 일치하는가?
• RQ4 일반화된 일차 밀도 행렬이 투영 연산자인 조건는 무엇이며, 이는 허위자유 상태의 순수성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 봉올리우보프–하르트리–포크 에너지를 순수 허위자유 상태 위에서만 최소화하는 것이 일반 허위자유 상태 위에서의 최소화와 동치인가?

주요 결과

• 일반화된 이차 밀도 행렬은 입자 수 보존 없이 허위자유 상태의 구조를 완전히 포함하는 7×7 블록 행렬로 구성된다.
• 반한계 해밀토니안에 대해, 모든 허위자유 상태 위에서의 에너지 함수의 하한은 순수 허위자유 상태 위에서의 하한과 동일하며, 이는 에너지 최소화에 순수 상태가 충분함을 시사한다.
• 페르미온의 경우에만 일반화된 일차 밀도 행렬이 투영 연산자인 경우는 순수 허위자유 상태일 때뿐이다.
• 보손의 경우에도 유사한 특성화가 성립한다: 일반화된 1-pdm는 오직 순수 허위자유 상태일 때에만 투영 연산자이다.
• 일반화된 1-pdm와 2-pdm로 표현된 에너지 함수는 허위자유 상태 형식에서 보손 및 페르미온 시스템을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 일반화된 2-pdm의 구조는 허위자유 상태의 전체 상관관계 정보가 7×7 행렬에 암묵적으로 포함되어 있음을 드러내며, 특정 블록은 γ, α, β, Δ와 같은 물리적 관측량과 대응한다.