[논문 리뷰] Generalized Petersen Graphs and Kronecker Covers

Matjaž Krnc, Tomaž Pisanski|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Finite Group Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 페터슨 그래프 G(n,k)가 K₂와의 텐서곱을 통해 형성되는 크로네커 커버(이중화된 이분할 그래프)가 되는 조건을 정확히 규명함으로써, 매개수 n과 k에 대한 조건을 특정한다. G(10,3)은 오직 한 가지의 비이sov모르픽 그래프(페터슨 그래프와 H)에 대해 크로네커 커버인 유일한 그래프임을 증명하며, 나머지 그래프들은 모두 단일 몫 그래프의 크로네커 커버이거나 아예 크로네커 커버가 아니며, 이 몫 그래프의 구조는 LCF 표기법을 통해 완전히 기술된다.

ABSTRACT

Abstract: The family of generalised Petersen graphs G (n, k), introduced by Coxeter et al. [4] and named by Watkins (1969), is a family of cubic graphs formed by connecting the vertices of a regular polygon to the corresponding vertices of a star polygon. The Kronecker cover KC (G) of a simple undirected graph G is a special type of bipartite covering graph of G, isomorphic to the direct (tensor) product of G and K2. We characterize all generalised Petersen graphs that are Kronecker covers, and describe the structure of their respective quotients. We observe that some of such quotients are again generalised Petersen graphs, and describe all such pairs. The results of this paper have been presented at EUROCOMB 2019 and an extended abstract has been published elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 페터슨 그래프 G(n,k)가 어떤 그래프의 크로네커 커버인지 규명하는 것.
• G(n,k)가 크로네커 커버일 경우에 얻어지는 몫 그래프의 구조를 특성화하는 것.
• 일반화된 페터슨 그래프가 두 개 이상의 비이sov모르픽 그래프의 크로네커 커버가 될 수 있는지 규명하는 것.
• n과 k의 기하학적 성질과 짝홀성 조건에 따라 몫 그래프를 LCF 표기법으로 기술하고 분류하는 것.
• G(10,3)를 제외한 모든 크로네커 커버에 대해 몫 그래프의 유일성을 확립하는 것.

제안 방법

• 크로네커 커버 구축을 텐서곱 G × K₂로 정의하여, 정점 수가 두 배인 이분할 이중 커버를 형성한다.
• Imrich와 Pisanski(2007)의 특성화를 적용하여, 이분할 그래프가 크로네커 커버이기 위한 조건은 자동화군이 고정점이 없고 색을 뒤바꾸는 반전을 가진다는 것임을 이용한다.
• G(n,k)의 자동화 구조를 분석하여 이러한 반전이 존재하는 조건을 규명하며, 특히 n ≡ 0 또는 2 (mod 4) 이고 k가 홀수일 경우에 집중한다.
• 삼차원 해밀턴 그래프를 표현하기 위해 LCF 표기법을 정의하고, 반전 구조에서 유도된 C⁺(n,k) 및 C⁻(n,k) 가족의 그래프로 몫 그래프를 표현한다.
• 덧셈군의 구조와 GCD 기반 궤도 수 계산을 이용해 크로네커 반전의 동치류를 분석함으로써 몫 그래프의 유일성을 증명한다.
• k mod 4(즉, k ≡ 1 또는 3 mod 4)에 기반한 케이스 분석을 통해, 조건 k² ≡ 1 mod n 이고 n이 (k²−1)/2를 나누는 경우에 C⁺(n,k)와 C⁻(n,k) 몫 가족을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수 (n,k)가 어떤 경우에 일반화된 페터슨 그래프 G(n,k)가 어떤 그래프의 크로네커 커버가 되는가?
• RQ2 일반화된 페터슨 그래프가 두 개 이상의 비이sov모르픽 그래프의 크로네커 커버가 될 수 있는가?
• RQ3 G(n,k)가 크로네커 커버일 경우 몫 그래프의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 n과 k에 어떤 조건이 성립할 경우 몫 그래프 자체가 일반화된 페터슨 그래프가 되는가?
• RQ5 각 크로네커 커버에 대해 몫 그래프가 유일한가, 아니면 서로 다른 비동치 반전이 동일한 몫 그래프를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• G(10,3)은 오직 한 가지의 비이sov모르픽 그래프(페터슨 그래프와 H)에 대해 크로네커 커버인 유일한 일반화된 페터슨 그래프이다.
• n ≡ 2 (mod 4) 이고 k가 홀수일 경우, G(n,k)는 크로네커 커버이며, 4k < n 이면 몫은 G(n/2, k)이고, n < 4k < 2n 이면 G(n/2, n/2 − k)이다.
• n ≡ 0 (mod 4) 이고 k가 홀수일 경우, G(n,k)는 크로네커 커버이기 위한 조건이 n이 (k²−1)/2를 나누거나 (n,k) = (8,3)일 때에 한하여 성립한다. 몫은 k ≡ 1 (mod 4) 이면 C⁺(n,k), k ≡ 3 (mod 4) 이면 C⁻(n,k)이다.
• 기타 모든 경우(예: n이 짝수이고 k가 짝수, 또는 n이 홀수)에서는 G(n,k)는 크로네커 커버가 아니다.
• 모든 크로네커 커버에 대해 몫 그래프는 항상 유일하며, 오직 G(10,3)만이 두 개의 서로 다른 몫 그래프를 가진다.
• KC(G(n,k))가 일반화된 페터슨 그래프가 되는 것은 n이 홀수일 때에만 성립하며, 이는 짝수 n에 대해서는 크로네커 커버가 일반화된 페터슨 그래프가 되지 않는다는 것을 의미한다.