[논문 리뷰] Generalized Polylogarithms in Maple

Hjalte Frellesvig|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 07.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Maple 2018에 일반화된 다중로그함수, 다중다중로그함수, 다중제타값을 구현한 것으로, 해석적 다루기와 수치적 평가를 통합된 프레임워크로 통합하였다. 이 방법은 수렴성을 위해 무한급수를 사용하고, 함수 항등식을 통한 해석적 계속을 적용하며, 홀더 콘볼루션을 통한 수렴 가속 기법을 활용하여 발산 영역 및 임계 영역에서도 견고한 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper describes generalized polylogarithms, multiple polylogarithms, and multiple zeta values, along with their implementation in Maple 2018. This set of related functions is of interest in high energy physics as well as in number theory. Algorithms for the analytical manipulation and numerical evaluation of these functions are described, along with the way these features are implemented in Maple.

연구 동기 및 목표

• Maple 2018에서 일반화된 다중로그함수, 다중다중로그함수, 다중제타값을 통합적이고 일반적인 목적의 구현을 제공하기 위해.
• 광범용 수학 소프트웨어 환경에서 이러한 특수함수의 기호 다루기와 수치적 평가를 통합한 도구의 부족을 보완하기 위해.
• 피曼 적분이 이러한 함수로 감소하는 경우를 고려해 고에너지 물리학 연구를 지원하기 위해 신뢰할 수 있는 계산 기능을 제공하기 위해.
• 수렴 처리 및 해석적 계속을 위한 고급 알고리즘을 통합하여 Maple의 특수함수 기능을 확장하기 위해.

제안 방법

• 수치적 평가는 다중다중로그함수의 무한급수 정의를 사용하여 구현하였다.
• 수렴하지 않는 영역의 경우, 함수 항등식과 적분 수준의 변환을 적용하여 수렴 영역으로 값들을 매핑하였다.
• 다중제타값 및 수렴이 느린 경우에 대해 홀더 콘볼루션을 사용하여 수렴 가속을 적용하였다.
• 기능적 다루기를 위해 전용 패키지와 특수함수의 변환 프레임워크와의 통합을 통해 지원하였다.
• 기호 대수는 다중로그함수의 기호 맵을 표현하고 다룰 수 있도록 구현되었으며, 유리수 계수 및 수치 상수 처리에 대해 설정을 구성할 수 있도록 하였다.
• 일반화된다중로그함수 및 다중다중로그함수를 통한 조화다중로그함수와 니엘슨의 다중로그함수의 수치적 평가 인터페이스를 제공하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 다중로그함수 및 관련 함수를 일반 목적의 컴퓨터 대수 시스템인 Maple에서 효율적이고 견고하게 구현하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 다중다중로그함수의 발산 및 천천히 수렴하는 경우를 다루는 데 효과적인 알고리즘 전략는 무엇인가?
• RQ3 기호적 기능과 수치적 기능을 어떻게 통합하여 분석적 다루기와 고정밀도 평가를 모두 지원할 수 있는가?
• RQ4 기호 대수는 계산 환경에서 다중로그함수의 구조를 단순화하고 체계적으로 정리하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 홀더 콘볼루션과 같은 수렴 가속 기법을 다중제타값 및 관련 함수에 효과적으로 적용하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• Maple 2018에서의 이 구현은 일반화된 다중로그함수, 다중다중로그함수, 다중제타값에 대해 기호 다루기와 수치적 평가를 통합한 첫 번째 시스템을 제공한다.
• 함수 항등식과 적분 변환의 사용은 다중다중로그함수의 표준 수렴 영역 외부에서도 신뢰할 수 있는 평가를 가능하게 한다.
• 홀더 콘볼루션은 다중제타값 및 기타 수렴이 느린 경우의 수렴 속도를 크게 향상시킨다.
• 기호 대수 프레임워크는 다중로그함수의 체계적인 표현을 가능하게 하며, 유리수 계수 및 수치 상수 처리에 대해 설정을 구성할 수 있도록 한다.
• 조화다중로그함수와 니엘슨의 다중로그함수에 대한 수치적 인터페이스가 주요 GeneralizedPolylog 및 MultiPolylog 절차를 통해 성공적으로 노출되었다.
• 내부 도구를 통해 GPL의 지수에 대한 미분 계산이 지원되어 고급 분석 연산이 가능해졌다.