[논문 리뷰] Generalized Rédei rational functions and rational approximations over conics

Stefano Barbero, Umberto Cerruti외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 체 $\field{F}$ 위에서 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$로 정의된 타원곡선 위에서 Rédei 유리 함수와 군 구조를 일반화하며, 몫체를 통한 군 법칙과 매개변수화를 수립한다. 일반화된 Rédei 다항식을 도입하여 점 승수 계산을 수행하고, 관련 매개변수의 연분수 전개를 이용해 이차 무리수의 유리수 근사값을 도출하며, 이는 $\beta = \tau$일 때 피타고라스 삼중항을 포함한 타원곡선 상의 새로운 수렴 수열을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we study a general class of conics starting from a quotient field. We give a group structure over these conics generalizing the construction of a group over the Pell hyperbola. Furthermore, we generalize the definition of Rédei rational functions in order to use them for evaluating powers of points over these conics. Finally, we study rational approximations of irrational numbers over conics, obtaining a new result for the approximation of quadratic irrationalities.

연구 동기 및 목표

• Pell hyperbola를 초월하여 타원과 포물선을 포함한 일반적인 타원곡선에 대해 몫체 구성법을 통해 군 구조를 일반화하는 것.
• 점 승수 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 $E_{\field{F}}(h,d)$ 형태의 더 넓은 범주에 걸쳐 Rédei 유리 함수를 확장하는 것.
• 연분수 수렴값을 타원곡선 위의 점으로 매핑함으로써 무리수의 유리수 근사를 위한 방법을 개발하는 것.
• 타원곡선 매개변수화를 통해 유도된 피타고라스 삼중항을 이용해 $\tau$를 포함한 이차 무리수의 체계적 유리수 근사를 보여주는 것.

제안 방법

• 기약 다항식 $x^2 - hx - d$에 대해 몫체 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$를 구성하고, 노름, 트레이스, 켤레 연산을 정의한다.
• 단위군 $U = \{a + bx \in \field{A}^* : N(a + bx) = 1\}$를 정의하며, 이는 타원곡선 $E_{\field{F}}(h,d)$와 일대일 대응되며 군 법칙 $\odot_E$를 유도한다.
• 행렬의 거듭제곱 $M = \begin{pmatrix} z+h & d \\ 1 & z \end{pmatrix}$로부터 유도된 재귀 수열 $N_n(h,d,z)$와 $D_n(h,d,z)$를 통해 일반화된 Rédei 유리 함수를 도입하여 점 승수 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.
• 매개변수화 $\epsilon: m \mapsto \left( \frac{m^2 + d}{m^2 + hm - d}, \frac{2m + h}{m^2 + hm - d} \right)$를 통해 $\field{F} \cup \{\alpha\}$에서 $E_{\field{F}}(h,d)$로의 사상이 가능하며, $\alpha$는 항등원으로서 기능한다.
• 보조 무리수 $\alpha$의 연분수 수렴값 $p_n/q_n$을 타원곡선 상의 점 $(x_n, y_n) = (f(p_n/q_n), g(p_n/q_n))$로 매핑한다.
• 몫군 $\field{A}^*/\field{F}^*$와 매개변수화된 군 $(P, \odot_P)$ 사이의 동형사상을 수립하며, 여기서 $a \odot_P b = \frac{d + ab}{h + a + b}$ ($a + b \neq -h$)이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 $\field{F}$ 위에서 임의의 타원곡선 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$에 대해 Pell hyperbola에서 일반화된 군 구조를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 Rédei 유리 함수는 재귀 수열을 통해 일반화된 타원곡선에서 점의 거듭제곱 계산을 확장할 수 있는가?
• RQ3 보조 매개변수의 연분수 전개와 타원곡선 상의 무리수 근사값 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 타원곡선 매개변수화와 수렴값을 이용해 이차 무리수의 체계적 유리수 근사를 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 $\pi$를 근사하는 피타고라스 삼중항 생성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 몫체 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$의 단위군과의 일대일 대응을 통해 타원곡선 $E_{\field{F}}(h,d)$ 위에 군 구조가 수립되며, 항등원은 $(1,0)$, 역원은 $(x,y)^{-1} = (x + hy, -y)$이다.
• 일반화된 Rédei 함수는 재귀 수열 $N_n(h,d,z)$와 $D_n(h,d,z)$를 통해 정의되며, 이는 $E_{\field{F}}(h,d)$ 상의 점의 $n$제곱을 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.
• $\field{F} = \mathbb{R}$일 경우, 임의의 무리수 $\beta$에 대해 $\frac{2\alpha + h}{\alpha^2 + d} = \beta$를 풀어 $\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \beta^2}}{\beta}$를 얻으며, 이는 항상 무리수이다.
• $\alpha$의 연분수 수렴값 $p_n/q_n$은 타원곡선 $E_{\field{R}}(h,d)$ 상의 수열 $(x_n, y_n)$을 생성하며, $\lim_{n \to \infty} y_n / x_n = \beta$를 만족한다.
• $h = 0, d = -1$일 경우 타원곡선은 단위원 $x^2 + y^2 = 1$이 되며, 이 방법은 $\pi$를 근사하는 피타고라스 삼중항을 생성한다. 수렴값으로는 $24/7 \approx 3.4285$와 $165/52 \approx 3.1730$ 등이 있다.
• 명시적 예시를 통해 $\pi$는 점차 정확도가 향상되는 방식으로 근사됨을 보여주며, $24/7 \approx 3.4285$, $165/52 \approx 3.1730$, $988/315 \approx 3.1365$, $12648/4025 \approx 3.1423$로 수렴하며, $\pi \approx 3.14159$에 수렴한다.