[논문 리뷰] Generalized raising and lowering operators for supersymmetric quantum mechanics

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 27.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초대칭 양자역학에서의 상승 및 하강 연산자를 임의의 함수 h(x)를 포함시켜 일반화함으로써, 고전적 직교다항식에 대한 일반화된 로드리그스 공식을 도출한다. 이 방법은 헤르미트, 라게르, 레지온드르, 체비셰프, 게겐바우어 다항식에 대한 표준 공식을 특수한 경우로 회복하며, 임의의 함수를 포함시켜 새로운 항등식과 일반화된 미분 연산자 구조를 제공한다.

ABSTRACT

Supersymmetric quantum mechanics has many applications, and typically uses a raising and lowering operator formalism. For one dimensional problems, we show how such raising and lowering operators may be generalized to include an arbitrary function. As a result, the usual Rodrigues' formula of the theory of orthogonal polynomials may be recovered in special cases, and it may otherwise be generalized to incorporate an arbitrary function. We provide example generalized operators for several important classical orthogonal polynomials, including Chebyshev, Gegenbauer, and other polynomials. In particular, as concerns Legendre polynomials and associated Legendre functions, we supplement and generalize results of Bazeia and Das.

연구 동기 및 목표

• 임의의 함수 h(x)를 자유 매개변수로 도입함으로써 초대칭 양자역학에서의 표준 상승 및 하강 연산자 형식을 일반화하는 것.
• h(x)를 0 또는 특정 값으로 설정했을 때 고전적 직교다항식(예: 헤르미트, 라게르, 레지온드르)에 대한 알려진 로드리그스 공식을 특수한 경우로 회복하는 것.
• 임의의 h(x)를 允許함으로써 표준 형태를 초월한 로드리그스 공식을 일반화함으로써 새로운 연산자 구조와 항등식을 도출하는 것.
• 레지온드르, 관련 레지온드르, 게겐바우어, 체비셰프, 라게르 다항식 등 여러 직교다항식에 적용 가능한 통합된 프레임워크를 제공하는 것.
• Bazea와 Das의 연구를 보완하고 일반화하여 레지온드르 및 관련 레지온드르 함수에 대해 완전한 유도와 새로운 항등식을 제공하는 것.

제안 방법

• h(x)를 임의의 함수로 두어 일반화된 상승 및 하강 연산자 형식 $ A = f_1(x) \frac{d}{dx} g_2(x) + h(x) $을 수립한다.
• 적분 인자법을 사용하여 h(x)와 기저 미분방정식의 구조에 따라 f_1(x)와 g_2(x)의 표현식을 유도한다.
• 일반화된 연산자 형식을 슈뢰딩거 방정식과 고전적 직교다항식의 미분방정식에 적용한다.
• h(x) = 0일 때 표준 로드리그스 공식을 회복하고, 비영인 h(x)에 대해 일반화하여 새로운 연산자 항등식을 도출한다.
• 변수 치환(예: x = r^2)을 통해 원통형 문제(예: 수소원자, 조화진동자)를 다루어 원통형 좌표계에서의 일반화된 형태를 도출한다.
• 레지온드르, 관련 레지온드르, 게겐바우어, 체비셰프, 헤르미트, 라게르 등 여러 다항식 계열에 대해 적용하여 일관된 구조를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초대칭 양자역학에서의 표준 상승 및 하강 연산자를 임의의 함수 h(x)를 포함시켜 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 연산자 형식은 고전적 직교다항식(예: 헤르미트, 라게르, 레지온드르)에 대한 알려진 로드리그스 공식을 특수한 경우로 회복할 수 있는가?
• RQ3 h(x)가 비영일 때 어떤 새로운 일반화된 로드리그스 유형의 공식이 도출되며, 기존 항등식과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 방법은 관련 레지온드르 함수와 매개변수 $ \lambda $를 가진 게겐바우어 다항식으로 어떻게 확장되며, 어떤 새로운 항등식을 도출하는가?
• RQ5 일반화된 형식은 양자역학의 원통형 문제(예: 쿠론 및 조화진동자)에 적용되어 새로운 미분 연산자 구조를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 레지온드르 다항식에 대해 일반화된 상승 연산자 $ A_+ = f_1 \frac{d}{dx} g_2 + h $ 는 $ g_2(x) = (x^2 - 1)^{n/2} \exp\left[ -\int \frac{h(x)}{x^2 - 1} dx \right] $ 과 $ f_1(x) = (x^2 - 1)^{1 - n/2} \exp\left[ \int \frac{h(x)}{x^2 - 1} dx \right] $ 를 유도한다.
• h(x) = 0일 때 일반화된 연산자는 레지온드르 다항식의 표준 로드리그스 공식을 회복하며, 임의의 h(x)로 일반화된다.
• 라게르 다항식의 경우 일반화된 연산자는 $ g_2(x) = x^{\alpha + n} e^{-x} \exp\left[ -\int \frac{h(x)}{x} dx \right] $ 를 유도하며, h = 0일 때 표준 로드리그스 공식을 회복한다.
• 체비셰프 다항식 $ T_n(x) $ 에 대해 일반화된 방법은 h = 0일 때 $ T_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} (1 - x^2)^{(3-n)/2} \frac{d}{dx} \left[ (1 - x^2)^{3/2} \frac{d}{dx} \right]^{n-2} x (1 - x^2)^{1/2} $ 를 도출한다.
• 게겐바우어 다항식의 경우 일반화된 형식은 이전 결과를 확장하는 새로운 연산자 구조를 제공하며, 특히 $ \lambda \neq 1/2 $ 인 경우 유용하고 일반화된 항등식을 도출할 수 있다.
• 이 방법은 직교다항식에 대한 일반화된 슈뢰드리-유형의 경로적분을 도출할 수 있으며, 특수함수 이론과 양자역학에서의 광범위한 적용 가능성을 시사한다.