[논문 리뷰] Generalized superelliptic Riemann surfaces

Rubén A. Hidalgo, Saúl Quispe외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초타원곡선의 자연스러운 일반화로, 중심적인 순서-$n$ 자기동형사상 $τ$를 가지며, 몫 $χ/\langle\tau\rangle$ 가 종수 0인 일반화된 슈퍼에일리프틱 리만 곡면을 도입한다. 주요 기여는 $n$ 이 짝수일 때 특정 가족을 제외하고는 이러한 곡면이 유일한 수준 $n$ 의 일반화된 슈퍼에일리프틱 군을 가짐을 증명한 것으로, 이는 대수적 모델의 구축과 이러한 곡면이 그들의 모듈리 필드 위에서 정의 가능한 조건을 확립하는 데 기여한다.

ABSTRACT

A closed Riemann surface $\mathcal X$, of genus $g \geq 2$, is called a generalized superelliptic curve of level $n \geq 2$ if it admits an order $n$ conformal automorphism $τ$ so that $\mathcal X/\langle τ angle$ has genus zero and $τ$ is central in ${ m Aut}(\mathcal X)$; the cyclic group $H=\langle τ angle$ is called a generalized superelliptic group of level $n$ for $\mathcal X$. These Riemann surfaces are natural generalizations of hyperelliptic Riemann surfaces (when $n=2$). We provide an algebraic curve description of these Riemann surfaces in terms of their groups of automorphisms. Also, we observe that the generalized superelliptic group $H$ of level $n$ is unique, with the exception of a very particular family of exceptional generalized superelliptic Riemann surfaces for $n$ even. In particular, the uniqueness holds if either: (i) $n$ is odd or (ii) the quotient $\mathcal X/H$ has all its cone points of order $n$ (for instance, when $\mathcal X$ is a superelliptic curve of level $n$). In the non-exceptional case, we use this uniqueness property of its generalized superelliptic group $H$ to observe that the corresponding curves are definable over their fields of moduli if ${ m Aut}(\mathcal X)/H$ is neither trivial or cyclic.

연구 동기 및 목표

• 비균일한 원추점 순서를 갖는 몫 오비폴드를 포함하도록 초타원곡선의 개념을 일반화하기.
• 자기동형사상 군과 대수곡선 모델을 통해 일반화된 슈퍼에일리프틱 리만 곡면을 특성화하기.
• 이러한 곡면이 그들의 모듈리 필드 위에서 정의 가능한 조건을 설정하기.
• 수준 $n$ 의 일반화된 슈퍼에일리프틱 군의 유일성을 해결하고, $n$ 이 짝수일 때의 예외적 경우를 식별하기.

제안 방법

• Singerman의 유한 최대 서명 목록을 사용하여 몰입 $χ/\langle\tau\rangle$ 의 가능한 오비폴드 구조를 분류하기.
• 군론적 기법을 적용하여 ${\rm Aut}(\mathcal{X})$ 내에서 자기동형사상 $τ$ 의 중심성과 대수적 모델의 지수 $l_j$ 에 미치는 영향 분석하기.
• 서로 다른 $a_j$ 와 $\gcd(n, l_1, \dots, l_r) = 1$ 를 만족하는 형태의 대수곡선 $y^n = \prod_{j=1}^r (x - a_j)^{l_j}$ 을 구성하여 곡면을 표현하기.
• 자기동형사상 구조를 분류하고 곡선의 동형류를 결정하기 위해 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 를 이용한 축소된 군 사용하기.
• 삼각형 군에서의 푸크스 방정식과 군의 전사 사상 이론을 적용하여 상반평면의 몫으로서 기본 리만 곡면을 구성하기.
• 등가 곡선 모델을 분류하기 위해 메비우스 변환, 순열 및 모듈로 $n$ 의 단위 곱셈을 통한 등급 기준 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 곡면 $\mathcal{X}$ 의 자기동형사상 군 내에서 수준 $n$ 의 일반화된 슈퍼에일리프틱 군이 언제 유일한가?
• RQ2 일반화된 슈퍼에일리프틱 리만 곡면이 그들의 모듈리 필드 위에서 언제 정의 가능한가?
• RQ3 특히 축소된 군 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 가 비순환적이고 비자명할 경우 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡면의 자기동형사상 군의 구조는 어떠한가?
• RQ4 몰입 $\mathcal{X}/H$ 의 원추점 순서는 곡면의 유일성과 모듈리 필드 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 낮은 종수에 대한 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡선의 완전한 분류는 무엇이며, 이는 그들의 대수적 모델과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 수준 $n$ 의 일반화된 슈퍼에일리프틱 군은 $n$ 이 짝수이고 $\mathcal{X}$ 가 특정 예외적 가족에 속할 경우를 제외하고는 $\mathcal{X}$ 내에서 유일하다.
• 비예외적 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡면의 경우 군 $H$ 의 유일성 덕분에 메비우스 변환과 지수에 대한 단위 곱셈을 통해 동형류를 구성할 수 있다.
• 축소된 군 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 가 자명하거나 순환적이지 않다면 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡면은 그 모듈리 필드 위에서 정의 가능하다.
• 만약 $\overline{G}$ 가 자명하거나 순환적이라면 몰입 $\mathcal{X}/G$ 가 홀수 서명을 가질 경우 곡면은 여전히 그 모듈리 필드 위에서 정의 가능하다.
• 모듈리 필드 위에서의 정의 가능성에 실패하는 유일한 경우는 비예외적 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡선이며, 이 경우 $\overline{G}$ 가 자명하거나 순환적이며 $\mathcal{X}/G$ 가 짝수 서명을 갖는다.
• 논문은 하르비의 조건과 삼각형 군에서의 군 전사 사상의 이론을 활용하여 종수 $g \geq 2$ 인 모든 일반화된 슈퍼에일리프틱 곡선에 대한 완전한 알고리즘적 구성법을 제공한다.