[논문 리뷰] Generalized Tensor Function via the Tensor Singular Value Decomposition based on the T-Product

Yun Miao, Liqun Qi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 46인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 T-곱을 통한 텐서 특이값 분해(T-SVD)를 기반으로 한 일반화된 텐서 함수 프레임워크를 제안하며, 행렬 함수를 직사각형 텐서로 확장한다. 주요 도구로는 압축 SVD(T-CSVD), 코시 적분 공식, 일반화된 텐서 거듭제곱을 도입하고, F-스토하스틱 구조와 텐서 콘의 불변성을 입증하며, 데이터 과학 및 텐서 방정식 분야에 적용한다.

ABSTRACT

In this paper, we present the definition of generalized tensor function according to the tensor singular value decomposition (T-SVD) via the tensor T-product. Also, we introduce the compact singular value decomposition (T-CSVD) of tensors via the T-product, from which the projection operators and Moore Penrose inverse of tensors are also obtained. We also establish the Cauchy integral formula for tensors by using the partial isometry tensors and applied it into the solution of tensor equations. Then we establish the generalized tensor power and the Taylor expansion of tensors. Explicit generalized tensor functions are also listed. We define the tensor bilinear and sesquilinear forms and proposed theorems on structures preserved by generalized tensor functions. For complex tensors, we established an isomorphism between complex tensors and real tensors. In the last part of our paper, we find that the block circulant operator established an isomorphism between tensors and matrices. This isomorphism is used to prove the F-stochastic structure is invariant under generalized tensor functions. The concept of invariant tensor cones is also raised.

연구 동기 및 목표

• T-곱 및 T-SVD 프레임워크를 사용하여 일반화된 행렬 함수를 직사각형 텐서로 확장하는 것.
• 텐서 압축 특이값 분해(T-CSVD)를 정의하고 분석하며, 텐서의 사영 연산자 및 모어-펜로즈 역행렬 유도에 미치는 역할을 규명하는 것.
• 부분 등위성 텐서를 사용하여 텐서 함수의 코시 적분 공식을 수립하고, 이를 통해 텐서 방정식을 해결하는 것.
• 일반화된 텐서 함수 하에서의 구조 불변성, 특히 F-스토하스틱 텐서와 텐서 콘의 성질을 조사하는 것.
• 복소수 텐서와 실수 텐서, 텐서와 행렬 간의 동형사상 관계를 탐색하여 서로 다른 영역 간에 성질를 전이하는 것.

제안 방법

• T-SVD를 통한 일반화된 텐서 함수 $ f^{igtriangleup}(oldsymbol{ancyscript{A}}) $ 를 제안하며, 정의는 $ \text{fold}(f(\text{bcirc}(\boldsymbol{\fancyscript{A}})) \boldsymbol{\fancyscript{E}}_1^{np \times n}) $ 로, 룬드의 F-제곱 텐서 함수를 직사각형 텐서로 확장한다.
• 텐서를 $ \boldsymbol{\fancyscript{A}} = \boldsymbol{\fancyscript{U}} * \boldsymbol{\fancyscript{S}} * \boldsymbol{\fancyscript{V}}^H $ 로 표현하기 위해 텐서 압축 특이값 분해(T-CSVD)를 도입하여, 질량과 사영 분석을 가능하게 한다.
• 부분 등위성 텐서를 사용하여 텐서 함수의 코시 적분 공식을 유도함으로써, 해석적 계속성과 텐서 방정식의 해법을 가능하게 한다.
• 일반화된 텐서 거듭제곱을 정의하고, T-SVD 프레임워크를 활용하여 텐서 함수의 테일러 전개를 수립한다.
• 블록 순환 연산자를 활용하여 텐서와 행렬 간의 동형사상을 수립함으로써, 행렬 이론적 성질을 텐서로 전이할 수 있도록 한다.
• 텐서 콘의 개념을 도입하고, $ f $ 가 음이 아닌 비감소 함수일 경우 일반화된 텐서 함수 하에서의 불변성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 T-곱과 T-SVD를 사용하여 일반화된 행렬 함수를 행렬에서 직사각형 텐서로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 텐서 함수 하에서 유지되는 구조적 불변성은 무엇인가? 예를 들어 F-스토하스틱성과 텐서 콘 성질을 포함하여.
• RQ3 텐서 함수의 코시 적분 공식은 텐서 방정식의 해법을 어떻게 지원하는가?
• RQ4 블록 순환 동형사상은 어떻게 행렬의 성질을 텐서로 전이하는가?
• RQ5 일반화된 텐서 함수 하에서 텐서 콘의 불변성이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 텐서 함수 $ f^{igtriangleup}(\boldsymbol{\fancyscript{A}}) $ 는 T-SVD 및 T-CSVD를 통해 직사각형 텐서에 대해 잘 정의되며, 고차원 텐서로의 고전적 행렬 함수 이론의 확장을 가능하게 한다.
• 블록 순환 행렬 동형사상에 의해 증명된 lin, $ f(1) = 1 $ 일 경우 F-이중스토하스틱 텐서의 집합은 일반화된 텐서 함수 $ f^{igtriangleup} $ 하에서 불변이다.
• 고정된 유니터리 텐서 $ \fancyscript{U}, \fancyscript{V} $ 로 정의된 텐서 콘 $ \fancyscript{S}_{\fancyscript{U},\fancyscript{V}} $ 는 $ x > 0 $ 에서 $ f $ 가 음이 아니고 감소하는 경우 $ f^{igtriangleup} $ 하에서 불변이다.
• $ x > 0 $ 에서 $ f(x) > 0 $ 이면, 일반화된 텐서 함수 $ f^{igtriangleup} $ 는 텐서 콘의 내부를 그 자체로 매핑하며, 특이 튜브의 엄밀한 양성도 유지한다.
• 부분 등위성 텐서를 사용하여 텐서 함수의 코시 적분 공식이 수립되었으며, 이를 통해 해석적 다루기 쉬운 해법과 텐서 방정식의 해법이 가능해진다.
• 복소수 텐서와 실수 텐서 간의 동형사상이 구축되었으며, 이를 통해 실수 텐서 함수의 결과를 복소수 텐서 함수로 확장할 수 있다.