[논문 리뷰] Generalized Tur\'an problems for even cycles

Dániel Gerbner, Ervin Győri외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 짝수 사이클에 대한 일반화된 투란 문제를 조사하여, 특정한 짝수 사이클을 피하는 그래프에서 사이클 $C_{2l}$의 복제 수의 최댓값을 규명한다. 이는 $ex(n,C_{2l},C_{2k}) = ฮี타(n^l)$라는 날카로운 점 渐점적 경계를 설정하고, 추가로 사이클을 금지할 경우의 날카로운 임계점도 증명하며, 한 개의 사이클만 더 금지될 경우 사이클 수가 지수적으로 감소하는 현상을 보여준다.

ABSTRACT

Given a graph $H$ and a set of graphs $\\mathcal F$, let $ex(n,H,\\mathcal F)$ denote the maximum possible number of copies of $H$ in an $\\mathcal F$-free graph on $n$ vertices. We investigate the function $ex(n,H,\\mathcal F)$, when $H$ and members of $\\mathcal F$ are cycles. Let $C_k$ denote the cycle of length $k$ and let $\\mathscr C_k=\\{C_3,C_4,\\ldots,C_k\\}$. Some of our main results are the following. (i) We show that $ex(n, C_{2l}, C_{2k}) = \\Theta(n^l)$ for any $l, k \\ge 2$. Moreover, we determine it asymptotically in the following cases: We show that $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1)) \\frac{(k-1)(k-2)}{4} n^2$ and that the maximum possible number of $C_6$'s in a $C_8$-free bipartite graph is $n^3 + O(n^{5/2})$. (ii) Solymosi and Wong proved that if Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds, then for any $l \\ge 3$ we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1})=\\Theta(n^{2l/(l-1)})$. We prove that forbidding any other even cycle decreases the number of $C_{2l}$'s significantly: For any $k > l$, we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^2).$ More generally, we show that for any $k > l$ and $m \\ge 2$ such that $2k \ eq ml$, we have $ex(n,C_{ml},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^m).$ (iii) We prove $ex(n,C_{2l+1},\\mathscr C_{2l})=\\Theta(n^{2+1/l}),$ provided a strong version of Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds (which is known to be true when $l = 2, 3, 5$). Moreover, forbidding one more cycle decreases the number of $C_{2l+1}$'s significantly: More precisely, we have $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k}\\}) = O(n^{2-\\frac{1}{l+1}}),$ and $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k+1}\\}) = O(n^2)$ for $l > k \\ge 2$. (iv) We also study the maximum number of paths of given length in a $C_k$-free graph, and prove asymptotically sharp bounds in some cases.

연구 동기 및 목표

• 주어진 짝수 사이클 $C_{2l}$의 복제 수의 최댓값을, 금지된 짝수 사이클 집합, 특히 $C_{2k}$를 피하는 그래프에서 결정하는 것.
• 에르되시의 둘레 추측 하에서 알려진 경계의 날카로움을 조사하며, 특히 홀수 사이클에 대해 다루는 것.
• 추가 사이클을 금지할 경우 $C_{2l}$ 또는 $C_{2l+1}$ 복제 수의 최대치에 어떤 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 일반화된 투란 함수 $ex(n,H,F)$를 사이클로 확장하고, 몇 가지 핵심 케이스에서 점 渐점적으로 날카로운 경계를 제공하는 것.
• 다양한 사이클 집합 $A$에 대해 $ex(n,C_l,C_A)$의 행동을 탐구하며, 특히 $l$이 홀수이거나 지수가 정수가 아닐 경우를 중심으로 다루는 것.

제안 방법

• 보든-시몬وفي츠 정리 및 둘레와 사이클 분포에 관한 정리를 포함한 극한 그래프 이론 기법을 사용하는 것.
• 사이클에 대한 '친절한' 및 '비친절한' 간선의 개념을 적용하여 사이클 다중성을 제어하고, 사이클 길이 연장 기반의 모순을 유도하는 것.
• 세타 그래프와 경로 연장 기법을 사용하여 $C_l$ 복제 수의 하한을 확보하는 것.
• 에르되시 둘레 추측과 그 알려진 케이스($l=2,3,5$)를 활용하여 홀수 사이클에 대한 점 渐점적 경계를 유도하는 것.
• 이중 세는 방식과 정점-불연속 사이클 분석 기법을 사용하여 $C_3,C_4,C_6$-자유 그래프에서 $C_5$의 수를 제한하는 것.
• 극한 그래프의 구조를 분석하여, 한 개의 사이클만 더 금지될 경우 주어진 사이클의 복제 수가 극적으로 감소함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 사이클 $C_{2l}$ 및 $C_{2k}$에 대해 $ex(n,C_{2l},C_{2k})$의 점 渐점적 성장률은 무엇인가?
• RQ2 추가로 짝수 사이클 $C_{2k}$($k>l$)가 금지될 경우 $C_{2l}$ 복제 수는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 $C_8$-자유 이분할 그래프에서 $C_6$의 최대 수는 얼마인가?
• RQ4 에르되시 둘레 추측의 더 강력한 형태 하에서, 모든 길이 $2l$ 이하의 사이클이 금지될 경우 $C_{2l+1}$의 수는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 한 개의 사이클만 더 금지될 경우 $ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k}igig)$ 또는 $ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k+1}igig)$는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 $l,k \to 2$에 대해 $ex(n,C_{2l},C_{2k}) = \theta(n^l)$이며, $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1))\frac{(k-1)(k-2)}{4}n^2$이다.
• $C_8$-자유 이분할 그래프에서 $C_6$의 최대 수는 $n^3 + O(n^{5/2})$이다.
• $k>l$일 경우 $ex(n,C_{2l},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^2)$이며, 추가로 짝수 사이클 하나를 더 금지할 경우 사이클 수에 급격한 감소가 일어남을 보여준다.
• $m \to 2$ 이고 $2k \neq ml$일 경우 $ex(n,C_{ml},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^m)$이며, 이는 이전 결과를 일반화한 것이다.
• 에르되시의 둘레 추측의 더 강력한 형태 하에서 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l}) = \theta(n^{2+1/l})$이다.
• $l>k\to 2$일 경우 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = O(n^{2-1/(l+1)})$ 이고 $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k+1}\big\big) = O(n^2)$이며, 이는 극한 수의 급격한 감소를 보여준다.