[논문 리뷰] Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent

Scott Aaronson, Travis Hance|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 30.

Sparse and Compressive Sensing Techniques인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $n \times n$ 행렬의 행렬식을 $\pm \varepsilon \|A\|^n$의 덧셈 오차 범위 내에서 근사하는 구르비츠의 랜덤 알고리즘을 일반화하고 비랜덤화한다. 이 알고리즘은 $O(n^2 / \varepsilon^2)$ 시간 내에 작동하며, 반복된 행 또는 열을 가진 행렬에 대해 보스온 생성 연산자 유사성에 기반해 근사도를 향상시킨다. 또한, 비음수 행렬에 대해 이 알고리즘을 비랜덤화하기 위해 복소수 $\varepsilon$-편향 집합을 도입하여 다항시간 내에 결정론적 근사치를 얻는다. 이 경우 랜덤성은 $O(\log n + \log 1/\varepsilon)$로 제한된다.

ABSTRACT

Around 2002, Leonid Gurvits gave a striking randomized algorithm to approximate the permanent of an n*n matrix A. The algorithm runs in O(n^2/eps^2) time, and approximates Per(A) to within eps*||A||^n additive error. A major advantage of Gurvits's algorithm is that it works for arbitrary matrices, not just for nonnegative matrices. This makes it highly relevant to quantum optics, where the permanents of bounded-norm complex matrices play a central role. Indeed, the existence of Gurvits's algorithm is why, in their recent work on the hardness of quantum optics, Aaronson and Arkhipov (AA) had to talk about sampling problems rather than estimation problems. In this paper, we improve Gurvits's algorithm in two ways. First, using an idea from quantum optics, we generalize the algorithm so that it yields a better approximation when the matrix A has either repeated rows or repeated columns. Translating back to quantum optics, this lets us classically estimate the probability of any outcome of an AA-type experiment---even an outcome involving multiple photons "bunched" in the same mode---at least as well as that probability can be estimated by the experiment itself. (This does not, of course, let us solve the AA sampling problem.) It also yields a general upper bound on the probabilities of "bunched" outcomes, which resolves a conjecture of Gurvits and might be of independent physical interest. Second, we use eps-biased sets to derandomize Gurvits's algorithm, in the special case where the matrix A is nonnegative. More interestingly, we generalize the notion of eps-biased sets to the complex numbers, construct "complex eps-biased sets," then use those sets to derandomize even our generalization of Gurvits's algorithm to the multirow/multicolumn case (again for nonnegative A). Whether Gurvits's algorithm can be derandomized for general A remains an outstanding problem.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 복소수 행렬의 행렬식 근사에 대해 구르비츠의 랜덤 알고리즘을 개선함으로써, 특히 광자 뭉치 현상 모델링에 해당하는 광학 실험에서 반복된 행 또는 열을 가진 경우에 대해 성능을 향상시키는 것.
• 작은 행렬 $B$ 의 열을 반복하여 구성된 행렬을 다룰 수 있도록 알고리즘을 일반화하여, 반복적인 구조에 대해 더 탄탄한 덧셈 오차 한계를 제공하는 것.
• 비음수 행렬에 대해 구르비츠 알고리즘의 비랜덤화를 위해 $\varepsilon$-편향 집합을 사용하고, 일반화된 경우를 위해 복소수 $\varepsilon$-편향 집합으로 확장하는 것.
• 광자 뭉치 현상이 포함된 선형 광학 실험에 대한 고전적 시뮬레이션 도구를 제공하는 것, 특히 아론슨-아르히포프 표본 추출 문제의 맥락에서.
• 선형 광학 네트워크에서 뭉쳐진 광자 결과의 확률에 대한 상한을 규명하는 추측을 해결하는 것.

제안 방법

• 형식적 변수를 보스온 생성 연산자로 간주하여 구르비츠 알고리즘을 일반화함으로써, 반복된 열을 모델링하기 위해 $x_i$ 를 $\sqrt{s_i} x_i$ 로 대체한다.
• 행렬 $A$ 가 $B$ 의 각 열을 $s_i$ 개씩 포함할 경우, $|\operatorname{Per}(A)|$ 에 대한 새로운 상한을 유도하며, 이는 $\frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ 으로 표현되며, 반복적인 구조에 대해 오차 한계를 향상시킨다.
• 실수 $\varepsilon$-편향 집합을 복소수 단위 원으로 확장하여 비랜덤화를 가능하게 하는 복소수 $\varepsilon$-편향 집합의 개념을 도입한다.
• 복소수 단위근의 곱의 기대값의 노름이 $\varepsilon/2$ 이하가 되도록 보장하기 위해, 복소수 $\varepsilon$-편향 집합을 사용한 결정론적 확대 기법을 적용하여 오차 제어를 실현한다.
• 일반화된 알고리즘을 선형 광학 네트워크에서 전이 진폭을 추정하는 데 적용하며, 특히 동일한 모드에 다수의 광자를 포함하는 결과에 대해 다룬다.
• 랜덤성과 결정론적 구성 방식을 융합함: $\ell = O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ 개의 복소수 단위근은 결정론적으로 선택하고, $d_j \in \{0,1\}$ 은 균일하게 랜덤하게 선택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구르비츠 알고리즘이 광학 실험에서 광자 뭉치 현상을 모델링하는 반복된 행 또는 열을 가진 행렬에 대해 개선될 수 있는가?
• RQ2 비음수 행렬에 대해 행렬식의 랜덤 근사치를 $\varepsilon$-편향 집합을 사용하여 비랜덤화할 수 있는가?
• RQ3 비랜덤화를 위한 일반화된 알고리즘을 지원하기 위해 $\varepsilon$-편향 집합의 개념을 복소수 단위원으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 행렬식이 비가소적으로 큰 단위 또는 부분단위 행렬에 대한 구조적 특성은 무엇이며, 이는 결정론적 추정을 가능하게 하는가?
• RQ5 선형 광학 진폭을 다항시간 내에 $\pm 1/\operatorname{poly}(n)$ 의 덧셈 오차 한계로 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 알고리즘은 $O(nk / \varepsilon^2)$ 시간 내에 $\operatorname{Per}(A)$ 를 $\pm \varepsilon \cdot \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ 의 덧셈 오차 범위 내에서 근사한다. 이는 $A$ 가 반복된 열을 포함할 경우 구르비츠의 원래 오차 한계를 초월한다.
• 논문은 새로운 상한 $|\operatorname{Per}(A)| \leq \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ 을 증명하며, 이는 구르비츠의 추측을 해결하고 뭉쳐진 광자 결과 확률에 대한 물리적 상한을 제공한다.
• 복소수 단위원 위에 $O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ 개의 원소를 가진 복소수 $\varepsilon$-편향 집합을 구성하여 일반화된 알고리즘의 비랜덤화를 가능하게 하였다.
• 비음수 행렬에 대한 비랜덤화된 알고리즘은 오직 $O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ 개의 랜덤 비트만 사용하며, 고확률로 $\varepsilon$-오차 제어를 달성한다.
• 이 방법은 뭉쳐진 광자를 포함한 모든 선형광학 진폭을, 양자 실험 자체의 동일한 덧셈 오차 범위 내에서 고전적으로 추정할 수 있게 한다.
• 복소수 $\varepsilon$-편향 집합의 구성은 기존의 $-1$ 값에 의존하는 전통적 $\varepsilon$-편향 집합 구성 방식과 다름을 보이며, $\pi/8$-강한 근을 사용한 새로운 확대 기법에 기반한다.