[논문 리뷰] Generalizing Geometry - Algebroids and Sigma Models

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 미분기하학—특히 리 대수군과 쿠르랑트 대수군—과 위상적 시그마 모형, 즉 AKSZ 및 디라크 시그마 모형 사이의 깊은 연결을 수립한다. AKSZ 구성이 QP-다양체를 통해 체르누-시미즈 이론을 일반화하며, 작용 함수가 목적지 공간의 자연스러운 1형식의 당김으로서 유도됨을 보여주어, 고차형 게이지 이론과 특성류를 알gebroid와 디라크 구조에 기반한 기하적 프레임워크 안에서 통합한다.

ABSTRACT

In this contribution we review some of the interplay between sigma models in theoretical physics and novel geometrical structures such as Lie (n-)algebroids. The first part of the article contains the mathematical background, the definition of various algebroids as well as of Dirac structures, a joint generalization of Poisson, presymplectic, but also complex structures. Proofs are given in detail. The second part deals with sigma models. Topological ones, in particular the AKSZ and the Dirac sigma models, as generalizations of the Poisson sigma models to higher dimensions and to Dirac structures, respectively, but also physical ones, that reduce to standard Yang Mills theories for the "flat" choice of a Lie algebra: Lie algebroid Yang Mills theories and possible action functionals for nonabelian gerbes and general higher gauge theories. Characteristic classes associated to Dirac structures and to higher principal bundles are also mentioned.

연구 동기 및 목표

• 위상적 시그마 모형과 리 대수군, 쿠르랑트 대수군, 디라크 구조와 같은 일반화된 기하학적 구조를 통합하는 것.
• 목적지 공간이 QP-다양체인 고차원 시그마 모형으로 AKSZ 구성의 일반화를 시도하는 것.
• QP-다양체 위에서의 Q-다양체 formalism을 통해 고차형 게이지 이론의 특성류가 어떻게 체르누-베일 형식으로 유도되는지 보여주는 것.
• AKSZ 시그마 모형의 작용 함수가 목적지 QP-다양체 위의 자연스러운 1형식의 당김임을 증명하는 것.
• 비통합 가능한 리 대수군이라도 의미 있는 위상적 시그마 모형을 지닌다는 것을 보여주는 것, 예를 들어 파아손 시그마 모형

제안 방법

• 도함수의 차수 d−1인 QP-다양체를 목적지 공간으로 하는 위상적 시그마 모형을 AKSZ 체계를 이용해 구성한다.
• Q-다양체 formalism을 적용하여 체르누-시미즈 작용을 T*[d−1]Ẽ₂ 위의 자연스러운 1형식의 당김으로 일반화한다. 여기서 Ẽ₂는 차수 1인 Q-다양체이다.
• Schouten-Nijenhuis 괄호와 외부 파울리 조건을 통해 파아손, 전시분형, 복소 구조의 공동 일반화로서 디라크 구조를 도입한다.
• 체르누-베일 형식을 통해 리 대수의 정합 대칭 이차형식이 특성류와 관련됨을 보이며, 이를 이동된 리 대수 위의 시멘플렉틱 형식으로 해석한다.
• 도함수의 연쇄 법칙과 Q-구조의 해밀토니안 끌림을 이용해 AKSZ 작용 함수가 목적지 QP-다양체 위의 시멘플렉틱 형식의 당김의 적분과 같음을 증명한다.
• 리 대수군의 접속과 장 강도를 고려함으로써 양밀스 유형 이론에 이 formalism을 적용하여 표준 양밀스 이론을 고차형 게이지 이론으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 기하학적 구조, 예를 들어 디라크 대수군과 쿠르랑트 대수군은 위상적 시그마 모형으로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ2 QP-다양체와 시멘플렉틱 형식에 기반한 AKSZ 시그마 모형의 작용 함수의 정확한 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 고차형 게이지 이론의 특성류는 체르누-시미즈 작용과 Q-다양체의 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 기저 리 대수군이 통합 가능하지 않은 경우에도 위상적 시그마 모형을 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ5 Q-다양체의 코타angent 번들의 자연스러운 1형식이 AKSZ 모델의 작용 함수를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 경계 Σ를 가진 (d+1)차원 다양체 위에서 AKSZ 시그마 모형의 작용 함수는 식 (8.16)에 따라 목적지 QP-다양체 M₂ 위의 시멘플렉틱 형식 ω의 당김의 적분과 같다.
• AKSZ 작용은 맵 f에 의한 T*[d−1]Ẽ₂ 위의 자연스러운 1형식의 당김으로 표현될 수 있으며, 이 형식의 도함수가 f*ω를 통해 작용 함수를 유도함을 보여주는 코로나리 8.2에 의해 나타난다.
• 리 대수 g와 정합 메트릭 κ를 가진 체르누-베일 사상은 g[1] 위의 차수 2의 시멘플렉틱 형식 ω에 대응하며, 이를 통해 두 번째 체르누-클래스가 고차형 형식으로 일반화된다.
• AKSZ 구성은 리 대수에서 유도되지 않는 일반 QP-다양체에 대해서도 펀트리아진 클래스와 체르누-시미즈 이론 사이의 관계를 일반화한다.
• 목적지 파아손 다양체가 통합 가능하지 않더라도 파아손 시그마 모형은 여전히 위상적이고 잘 정의되어 있으며, 이는 Q-_bundle formalism이 통합 가능 그룹로이드 그림보다 더 일반적임을 시사한다.
• 목적지 QP-다양체가 이동된 리 대수군일 경우, 리 대수군 양밀스 이론과 비아벨 게이지 이론이 AKSZ 프레임워크에서 자연스럽게 유도되며, 고차형 게이지 이론을 위한 통합된 작용 원리가 제공된다.