[논문 리뷰] Generating functions for descents over permutations which avoid sets of consecutive patterns

Quang T. Bach, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 존스와 레멜의 상호법칙 방법을 확장하여 1로 시작하고 내림차순이 최대 한 개인 연속 패턴 집합을 피하는 순열에 대한 지수 생성함수를 계산한다. 이는 이러한 순열에서 내림차순과 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값을 갖는 요소의 생성함수가 $(1/U_\Gamma(t,y))^x$ 형태를 띤다는 것을 보여주며, 이때 $U_\Gamma(t,y)$ 는 특정 패턴 집합에 대해 명시적인 재귀 관계를 만족한다. 이는 $\{1324,1423\}$, $\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)"]$ ($p \geq 5$), 그리고 일부 이항 순열을 포함한다.

ABSTRACT

We extend the reciprocity method of Jones and Remmel to study generating functions of the form $$\\sum_{n \\geq 0} \\frac{t^n}{n!} \\sum_{\\sigma \\in \\mathcal{NM}_n(\\Gamma)}x^{\\mathrm{LRmin}(\\sigma)}y^{1+\\mathrm{des}(\\sigma)}$$ where $\\Gamma$ is a set of permutations which start with 1 and have at most one descent, $\\mathcal{NM}_n(\\Gamma)$ is the set of permutations $\\sigma$ in the symmetric group $\\mathfrak{S}_n$ which have no $\\Gamma$-matches, $\\mathrm{des}(\\sigma)$ is the number of descents of $\\sigma$ and $\\mathrm{LRmin}(\\sigma)$ is the number of left-to-right minima of $\\sigma$. We show that this generating function is of the form $\\left( \\frac{1}{U_{\\Gamma}(t,y)}\ ight)^x$ where $U_{\\Gamma}(t,y) = \\sum_{n\\geq 0}U_{\\Gamma,n}(y) \\frac{t^n}{n!}$ and the coefficients $U_{\\Gamma,n}(y)$ satisfy some simple recursions in the case where $\\Gamma$ equals $\\{1324,123\\}$, $\\{1324 \\cdots p,12 \\cdots (p-1)\\}$ for $p \\geq 5$, or $\\Gamma$ is the set of permutations $\\sigma = \\sigma_1 \\cdots \\sigma_n$ of length $n=k_1+k_2$ where $k_1,k_2 \\geq 2$, $\\sigma_1 =1$, $\\sigma_{k_1+1}=2$, and $\\mathrm{des}(\\sigma) =1$.

연구 동기 및 목표

• 존스와 레멜의 상호법칙 방법을 연속 패턴 집합을 피하는 순열의 생성함수를 연구하기 위해 일반화한다.
• 패턴 집합 $\Gamma$ 가 1로 시작하고 내림차순이 최대 한 개인 경우, 생성함수 $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \sum_{\sigma \in \mathcal{NM}_n(\Gamma)} x^{\mathrm{LRmin}(\sigma)} y^{1+\mathrm{des}(\sigma)}$ 를 분석한다.
• 지수 생성함수 $U_\Gamma(t,y)$ 에서 계수 $U_{\Gamma,n}(y)$ 에 대한 명시적 재귀 관계를 유도한다.
• 특정 패턴 집합에서 $U_{\Gamma,n}(y)$ 의 로그-볼록성(log-concavity)을 조사하고, 내림차순이 한 개를 초과하는 패턴을 가진 경우에 대해 치환법의 한계를 탐구한다.

제안 방법

• 생성함수를 $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$ 형태로 표현하기 위해 상호법칙 방법을 사용한다. 여기서 $U_\Gamma(t,y) = \sum_{n \geq 0} U_{\Gamma,n}(y) \frac{t^n}{n!}$ 이다.
• 대칭함수의 환 $\Lambda$ 에서 정의된 맵 $\theta$ 를 적용한다. 이는 $\theta(e_n) = \frac{(-1)^n}{n!} \mathrm{NM}_{\Gamma,n}(1,y)$ 를 만족하며, $U_\Gamma(t,y)$ 와 대칭함수 항등식 간의 관계를 설정한다.
• 항등식 $U_\Gamma(t,y) = \theta(H(t))$ 를 사용한다. 여기서 $H(t)$ 는 동차 대칭함수의 생성함수이며, 이를 통해 $n! \theta(h_n) = U_{\Gamma,n}(y)$ 를 계산한다.
• 컴백스틱 해석을 통해 $n! \theta(h_n)$ 을 채워진 레이블이 부여된 브릭 타블로이드의 가중치의 부호가 붙은 합으로 표현하여 재귀 관계를 도출한다.
• 치환 사상의 적용 범위를 제한하여 $y$ 로 레이블이 붙은 셀이 유효한 분할을 방해하는 경우를 방지함으로써 고정점 분석을 가능하게 한다. 이는 특정 패턴 가족에 대해 적용된다.
• 제한된 치환 사상의 고정점을 분석하여, $\Gamma$ 가 내림차순이 한 개를 초과하는 순열을 포함하는 경우 $U_{\Gamma,n}(y)$ 에 대한 재귀 관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1로 시작하고 내림차순이 최대 한 개인 연속 패턴 집합 $\Gamma$ 에 대해 생성함수 $\mathrm{NM}_\Gamma(t,x,y)$ 가 $U_\Gamma(t,y)$ 에 대한 닫힌 표현을 갖는가?
• RQ2 내림차순이 한 개를 초과하는 패턴 가족 $\Gamma$ 에 대해 상호법칙 방법을 확장할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능할까?
• RQ3 특정 가족, 예를 들어 $\{1324,1423\}$, $\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$, 그리고 $k_1,k_2 \geq 2$ 인 이항 순열에 대해 계수 $U_{\Gamma,n}(y)$ 를 지배하는 재귀 관계는 무엇인가?
• RQ4 일부 패턴 가족 $\Gamma$ 에 대해 다항식 $U_{\Gamma,n}(y)$ 는 로그-볼록인가? 그리고 이 성질이 깨지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 패턴 집합 $\Gamma$ 가 다수의 내림차순을 포함할 경우 계수 $U_{\Gamma,n}(y)$ 는 어떻게 행동하는가? 치환 기반 접근법에 어떤 수정이 필요할까?

주요 결과

• 패턴 집합 $\Gamma = \{1324,1423\}$ 에 대해 생성함수는 $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$ 이며, 이때 $U_{\Gamma,n}(y)$ 는 $y$ 와 이항계수를 포함한 계수를 가진 $U_{\Gamma,n-1}(y)$ 와 $U_{\Gamma,n-3}(y)$ 를 포함하는 재귀 관계를 만족한다.
• 패턴 집합 $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$ ($p \geq 5$) 에 대해 계수 $U_{\Gamma,n}(y)$ 는 $n \geq 2$ 에 대해 $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2 \binom{n-2}{2} U_{\Gamma,n-3}(y)$ 라는 재귀 관계를 만족하며, 초기 조건 $U_{\Gamma,1}(y) = -y$ 를 가진다.
• 패턴 집합 $\Gamma = \{14253,15243\}$ 에 대해 재귀 관계는 $n \geq 2$ 에 대해 $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2(n-3)(U_{\Gamma,n-4}(y) + (1-y)(n-5)U_{\Gamma,n-5}(y)) - y^3(n-3)(n-5)(n-6)U_{\Gamma,n-6}(y)$ 이며, 초기 조건 $U_{\Gamma,1}(y) = -y$ 를 가진다.
• 패턴 $\tau = 142536$ 에 대해 재귀 관계는 $k$ 에 대한 합을 포함하며, 카탈란 행렬식 $H_{2k}$ 와 $H_{2k-1}$ 이 계수에 포함되고, $y^{3k}$ 와 $y^{3k-1}$ 항이 포함되어 복잡한 패턴 간 상호작용을 반영한다.
• 패턴 $\tau = 162534$ 에 대해 재귀 관계는 이항계수 $\binom{n-3k-1}{3k-1}$ 과 $\binom{n-3k-2}{3k}$ 를 포함하며, 위치와 패턴 구조에 대한 의존성을 보여준다.
• 저자들은 $\Gamma = \{1324,1423\}$ 와 $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots p\}$ ($p \geq 4$) 에 대해 $U_{\Gamma,n}(y)$ 가 로그-볼록일 것이라 추측하지만, $k_1 > k_2$ 인 경우 $U_{\Gamma_{k_1,k_2},n}(-y)$ 는 항상 로그-볼록하지 않다.