[논문 리뷰] Generating functions for Wilf equivalence under generalized factor order

Thomas Langley, Jeffrey Liese외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 24.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 정수 위의 단어에 대한 일반화된 인수 순서에서 Wilf 등가성을 위한 명시적 생성 함수를 개발한다. 특히 약하게 증가하는 부분과 약하게 감소하는 부분으로 분해되는 단어 $ u $에 대해 생성 함수 $ S(u;t,x) $를 중심으로 다룬다. $ S(u;t,x) $에 대한 공식을 제시하고, 이를 통해 길이 3인 모든 단어에 대한 Wilf 등가성을 분류하며, 계수들이 알려진 조합적 수열과 대응됨을 증명한다. 주요 기여는 생성 함수를 통한 Wilf 등가성의 구조적 특성화와 작은 경우에 대한 재배열 추측의 검증이다.

ABSTRACT

Kitaev, Liese, Remmel, and Sagan recently defined generalized factor order on words comprised of letters from a partially ordered set $(P, \leq_P)$ by setting $u \leq_P w$ if there is a subword $v$ of $w$ of the same length as $u$ such that the $i$-th character of $v$ is greater than or equal to the $i$-th character of $u$ for all $i$. This subword $v$ is called an embedding of $u$ into $w$. For the case where $P$ is the positive integers with the usual ordering, they defined the weight of a word $w = w_1\ldots w_n$ to be $ ext{wt}(w) = x^{\sum_{i=1}^n w_i} t^{n}$, and the corresponding weight generating function $F(u;t,x) = \sum_{w \geq_P u} ext{wt}(w)$. They then defined two words $u$ and $v$ to be Wilf equivalent, denoted $u \backsim v$, if and only if $F(u;t,x) = F(v;t,x)$. They also defined the related generating function $S(u;t,x) = \sum_{w \in \mathcal{S}(u)} ext{wt}(w)$ where $\mathcal{S}(u)$ is the set of all words $w$ such that the only embedding of $u$ into $w$ is a suffix of $w$, and showed that $u \backsim v$ if and only if $S(u;t,x) = S(v;t,x)$. We continue this study by giving an explicit formula for $S(u;t,x)$ if $u$ factors into a weakly increasing word followed by a weakly decreasing word. We use this formula as an aid to classify Wilf equivalence for all words of length 3. We also show that coefficients of related generating functions are well-known sequences in several special cases. Finally, we discuss a conjecture that if $u \backsim v$ then $u$ and $v$ must be rearrangements, and the stronger conjecture that there also must be a weight-preserving bijection $f: \mathcal{S}(u) ightarrow \mathcal{S}(v)$ such that $f(u)$ is a rearrangement of $u$ for all $u$.

연구 동기 및 목표

• 약하게 증가하는 단어와 약하게 감소하는 단어로 이루어진 $ u $에 대해 생성 함수 $ S(u;t,x) $의 명시적 공식을 도출하는 것.
• 이 공식을 사용하여 일반화된 인수 순서 하에서 길이 3인 모든 단어에 대한 Wilf 등가성을 분류하는 것.
• 관련 생성 함수의 계수들이 특수한 경우에 잘 알려진 조합적 수열과 대응됨을 보이는 것.
• Wilf 등가인 단어들은 반드시 서로의 재배열이어야 한다는 추측과, $ \mathcal{S}(u) $와 $ \mathcal{S}(v) $ 사이에 무게를 유지하는 전단사 사상이 존재한다는 더 강한 추측을 조사하는 것.

제안 방법

• 약하게 증가하는 부분과 약하게 감소하는 부분으로 이루어진 $ u $에 대해 $ S(u;t,x) $의 닫힌 표현식을 유도하는 것.
• 유리 생성 함수의 성질을 활용하여 $ F(u;t,x) = S(u;t,x) \cdot \frac{1-x}{1-x-tx} $ 를 통해 $ F(u;t,x) $와 $ S(u;t,x) $를 연결하는 것.
• 분해식 $ \mathcal{S}(u) = \mathcal{A}(u)\mathcal{W}(u) \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} \mathcal{S}^{(i)}(u) $ 를 사용하여 $ S(u;t,x) $를 재귀적으로 표현하는 것.
• 유한 알파벳 $[m]$ 위에서의 정밀한 생성 함수 $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ 를 사용하여 $ n \leq 5 $ 인 경우에 대해 재배열 추측을 계산적으로 검증하는 것.
• 만약 $ u $가 약하게 증가하는 단어이면, $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ 가 곱의 합 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ 를 포함하는 유리 함수 방정식을 만족함을 증명하는 것.
• 기계적 구조와 무게를 유지하는 사상들을 활용하여 임bedding의 유일성과 등가성 분석을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 증가하는 단어와 약하게 감소하는 단어로 이루어진 $ u $에 대해 $ S(u;t,x) $에 대한 명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 길이 3인 단어들 중 일반화된 인수 순서 하에서 Wilf 등가인 것은 어떤 것인가?
• RQ3 $ S(u;t,x) $ 또는 관련 생성 함수의 계수들이 알려진 조합적 수열과 대응되는가?
• RQ4 만약 $ u \backsim v $ 이면, 반드시 $ u $와 $ v $가 서로의 재배열이어야 하는가?
• RQ5 무게를 유지하는 전단사 사상 $ f: \mathcal{S}(u) \to \mathcal{S}(v) $ 가 존재하여 $ f(u) $ 가 $ u $ 의 재배열이 되는가?

주요 결과

• 약하게 증가하는 단어와 약하게 감소하는 단어로 이루어진 $ u $에 대해 $ S(u;t,x) $에 대한 명시적 유리 생성 함수 공식이 도출되었다.
• 유도된 $ S(u;t,x) $ 공식을 사용하여 길이 3인 단어들에 대한 모든 Wilf 등가 클래스가 분류되었다.
• 특수한 경우에서 $ S(u;t,x) $의 계수들은 잘 알려진 조합적 수열과 대응되며, 이는 구성과 격자 경로와 관련된 수열을 포함한다.
• 계산을 통해 $ n \leq 5 $ 인 모든 순열에 대해 재배열 추측이 성립함이 확인되었다. 이는 $ S(u;x_1,\ldots,x_5) $ 의 계산을 통해 이루어졌다.
• 약하게 증가하는 단어 $ u $에 대해, 곱의 합 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ 를 사용하여 $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ 의 닫힌 표현식이 확립되었다.
• 더 강한 추측 — 즉, $ \mathcal{S}(u) $와 $ \mathcal{S}(v) $ 사이에 무게를 유지하는 전단사 사상 $ f $ 가 존재하고 $ f(u) $ 가 $ u $ 의 재배열이 되는 것 — 은 $ n \leq 5 $ 인 경우의 계산 결과에 의해 지지된다.