[논문 리뷰] Generating Functions in $\mathbb{R}^{2n}$ and the Hatcher-Waldhausen map

Thomas Kragh|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴acts 집합 외부에서 영단면과 일치하는 ℝ²ⁿ 내의 정확한 라그랑주 다양체에 대해 무한대에서 이차적인 생성 가족을 구성하며, 이러한 가족들의 공간 ℳ∞가 허처-월드하우젠 맵의 호모토피 섬유임을 증명한다. 이는 ℳ∞가 공간의 대수적 K-이론에 대한 기하적 모델임을 규명하며, 데르크스의 유리 호모토피 동치 결과를 통해 안정 라그랑주 가우스 사상이 호모토피적으로 자명함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we construct a generating function quadratic at infinity for any exact Lagrangian in $\mathbb R^{2n}$ equal to $\mathbb R^n$ outside a compact set. This type of Lagrangian is equivalent to a Lagrangian filling in $D^{2n}$ of the standard Legendrian unknot $S^{n-1}$. Generating functions of the type we construct are related to the space $\mathcal M_\infty$ considered by Eliashberg and Gromov. We also show that $\mathcal M_\infty$ is the homotopy fiber of the so-called Hatcher-Waldhausen map. This further relates the understanding of exact Lagrangians (and Legendrians) to algebraic K-theory of spaces. As a result of this and the result by Bökstedt that the Hatcher-Waldhausen map is a rational homotopy equivalence we prove that the stable Lagrangian Gauss map (relative boundary) of the Lagrangian is homotopy trivial.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 집합 외부에서 영단면과 일치하는 ℝ²ⁿ 내의 임의의 정확한 라그랑주 다양체에 대해 무한대에서 이차적인 생성 가족을 구성하는 것.
• 그러한 생성 가족들의 공간 ℳ∞를 허처-월드하우젠 맵과 연관지워 이 맵에 대한 기하적 모델로 활용할 수 있음을 보여주는 것.
• ℳ∞와 허처-월드하우젠 맵을 포함하는 피브레이션 시퀀스를 이용해 정확한 라그랑주 다양체에 대한 새로운 위상적 제약 조건을 도출하는 것.
• 이러한 라그랑주 다양체에 대한 안정 라그랑주 가우스 사상이, 데르크스의 결과에 따라 허처-월드하우젠 맵이 유리 호모토피 동치임을 이용해 호모토피적으로 자명함을 증명하는 것.

제안 방법

• 체페론의 깨진 지오데식 접근을 활용해 영단면 ℝⁿ ⊂ ℝ²ⁿ에서 주어진 라그랑주 다양체 L를 포함하는 라그랑주 다양체 K로의 하미르토니안 이sov를 구성하는 것.
• 이전 연구에서 코타angent 번들의 일반화된 결과에 따라 K가 무한대에서 이차적인 생성 가족을 가짐을 이용하는 것.
• 리우빌 형식의 원시함수의 섬유별 정규값을 이용해 K에 대해 잘라내고 붙이는 방식을 적용하여 L에 대한 생성 가족을 구성하는 것.
• ℳ∞를 ℝ²ᵏ 상의 함수들의 극한으로 정의하며, 이는 무한대에서 표준 이차형식 Q와 일치하고 유일한 비퇴화 임계점을 가지는 성질을 가짐.
• 이소토피 확장과 튜브형 이웃근의 드릴링을 포함한 구성 방법을 통해 ℳ∞가 허처-월드하우젠 맵의 호모토피 섬리임을 증명하는 것.
• 아이구사의 고연결성 정리와 J-호모모피즘을 이용해 ℳ∞의 호모토피 유형이 F/O와 BO와 관련됨을 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 집합 외부에서 영단면과 일치하는 ℝ²ⁿ 내의 모든 정확한 라그랑주 다양체는 무한대에서 이차적인 생성 가족을 갖는가?
• RQ2 그러한 생성 가족들의 공간 ℳ∞는 호모토피 이론적으로 어떤 의미를 지닌다?
• RQ3 허처-월드하우젠 맵은 생성 가족의 기하학과 정확한 라그랑주 다양체와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 경계를 고정한 채로 영단면으로의 하미르토니안 이sov가 불가능한 라그랑주 다양체일 경우 어떤 위상적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ5 그러한 라그랑주 다양체에 대한 안정 라그랑주 가우스 사상은 호모토피적으로 자명한가, 그리고 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• boundary 근처에서 영단면과 일치하는 T*𝐷ⁿ 내의 임의의 정확한 라그랑주 다양체는 무한대에서 이차적인 생성 가족을 가짐.
• 공간 ℳ∞는 허처-월드하우젠 맵의 호모토피 섬리이며, 이는 이 맵에 대한 대수적 K-이론에 대한 기하적 모델을 제공함.
• 데르크스의 결과에 따라 허처-월드하우젠 맵은 유리 호모토피 동치이므로, ℳ∞ → F/O → BO의 복합 사상은 호모토피 군에서 유리적으로 자명함.
• 해당 라그랑주 다양체에 대한 안정 라그랑주 가우스 사상은 무한대에 대한 상대적 관계에서 호모토피적으로 자명함. 이는 복합 사상이 유리적으로 자명하기 때문임.
• 생성 가족의 구성은 잘라내고 붙이는 과정에서 리우빌 형식의 원시함수의 섬유별 정규값을 통제하는 데 의존함.
• ℳ∞와 허처-월드하우젠 맵을 포함하는 피브레이션 시퀀스는, 경계가 ℳ∞로의 사상이 확장되지 않을 경우 영단면으로의 하미르토니안 이sov에 대한 새로운 제약 조건을 제공함.