[논문 리뷰] Generating series of cyclically fully commutative elements is rational

Mathias Pétréolle|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 12.

semigroups and automata theory참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 코x터 군에서 순환적으로 완전히 교환 가능한(CFC) 원소들의 생성 함수가 유리함수임을 증명한다. 이를 위해 CFC 원소의 기약 표현을 인식하는 유한 상태 오토마타를 구성한다. 이 오토마타와 최소 기약 분해에 관한 결과를 활용하여, 정규 언어의 닫힘 성질을 통해 생성 함수의 유리성을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the generating function of cyclically fully commutative elements in Coxeter groups, which are elements such that any cyclic shift of theirs reduced decompositions remains a reduced expression of a fully commutative element. By designing a finite state automaton recognizing reduced expressions of cyclically fully commutative elements, we can show that the aforementioned generating series is always rational.

연구 동기 및 목표

• 임의의 코x터 군에서 순환적으로 완전히 교환 가능한(CFC) 원소들의 생성 함수의 유리성을 확립하기 위해.
• 이전에 완전히 교환 가능한 원소들의 생성 함수의 유리성에 관한 결과를 더 넓은 범주인 CFC 원소로 확장하기 위해.
• 오토마타 이론적 기법을 사용하여 생성 함수를 계산하는 구축 가능한 방법을 제공하기 위해.
• 이전의 유한 및 아핀 코x터 군에 관한 결과를 임의의 코x터 시스템으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 코x터 군에서 CFC 원소의 기약 표현을 인식하는 유한 상태 오토마타를 설계하기 위해.
• 기본 단어와 순환 이동의 조합적 성질을 이용하여 오토마타가 정확히 CFC 원소의 기약 표현만 수용하는지 검증함으로써 오토마타의 정확성을 증명하기 위해.
• 브링크와 하우렛의 결과를 활용하여 최소 기약 분해가 유한 오토마타에 의해 인식 가능하다는 것을 이용하기 위해.
• 최소 기약 분해 언어 오토마타와 CFC 표현 언어 오토마타를 교차시켜 각 CFC 원소에 정확히 하나의 대표 표현만을 고립시키기 위해.
• 정규 언어의 교차 및 생성 함수의 유리성에 관한 성질을 이용하여, 정규 언어의 닫힘 성질을 통해 생성 함수의 유리성을 도출하기 위해.
• 오토마타를 알고리즘적으로 구현하여 정규 표현식을 생성하고 시리즈를 생성함으로써 계산적 검증을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 코x터 군에서 순환적으로 완전히 교환 가능한 원소들의 생성 함수는 유리함수인가?
• RQ2 CFC 원소의 기약 표현을 인식하는 유한 상태 오토마타를 구성할 수 있는가?
• RQ3 최소 기약 분해 언어와 CFC 표현 언어의 교차는 정규 언어인가?
• RQ4 CFC 원소의 직접적인 재귀적 분해 없이도 생성 함수의 유리성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 CFC 표현을 인식하는 오토마타의 구조와 크기는 어떻게 되며, 최소화 가능한가?

주요 결과

• 임의의 코x터 군에서 순환적으로 완전히 교환 가능한 원소들의 생성 함수 $ W^{CFC}(x) $ 는 유리함수이다.
• CFC 원소의 기약 표현을 인식하는 유한 상태 오토마타가 명시적으로 구성되었고, 그 정확성이 증명되었다.
• 최소 기약 분해 언어와 CFC 표현 언어의 교차는 정규 언어를 이룬다. 이는 생성 함수의 유리성을 암시한다.
• 이 방법은 CFC 원소의 정규 표현식과 그 생성 함수를 계산하는 알고리즘적 절차를 제공한다.
• 이전에 알려진 유한 및 아핀 코x터 군의 결과를 확인하고 일반화한다. 이들 군에서는 이미 생성 함수의 유리성이 알려져 있었다.
• CFC 표현을 인식하는 오토마타는 많은 수의 상태를 가진다(예: $\widetilde{A}_3$ 에서 149개). 이는 최적화 또는 최소화의 잠재적 여지를 시사한다.