[논문 리뷰] Generation of Universal Linear Optics by Any Beamsplitter

Adam Bouland, Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 24.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 모드 유니터리 게이트 중에서 모드를 순열하거나 전역 위상만 적용하는 것 외의 비자명한 비스플리터(beam splitter)는 m ≥ 3개의 광학 모드에서 단일 광자 부분공간 상에서 전체 특수유니터리군 SU(m)를 조밀하게 생성함을 증명한다. 이 결과는 선형 광학에서의 보편성에 대한 이분법을 확립한다: 이러한 게이트 집합은 비자명하거나 보편적이며, 중간 복잡도 클래스는 존재할 수 없으며, 양자 선형 광학 보편성 이론의 핵심 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In 1994, Reck et al. showed how to realize any unitary transformation on a single photon using a product of beamsplitters and phaseshifters. Here we show that any single beamsplitter that nontrivially mixes two modes, also densely generates the set of unitary transformations (or orthogonal transformations, in the real case) on the single-photon subspace with m>=3 modes. (We prove the same result for any two-mode real optical gate, and for any two-mode optical gate combined with a generic phaseshifter.) Experimentally, this means that one does not need tunable beamsplitters or phaseshifters for universality: any nontrivial beamsplitter is universal for linear optics. Theoretically, it means that one cannot produce "intermediate" models of linear optical computation (analogous to the Clifford group for qubits) by restricting the allowed beamsplitters and phaseshifters: there is a dichotomy; one either gets a trivial set or else a universal set. No similar classification theorem for gates acting on qubits is currently known. We leave open the problem of classifying optical gates that act on three or more modes.

연구 동기 및 목표

• 제한된 광학 게이트 집합, 특히 비스플리터와 포지션 쉬프터가 비보편적이지만 비자명한 선형 광학 계산을 가능하게 하는지 결정하는 것.
• 큐비트 양자 컴퓨팅에서 클리포드 군과 유사한 중간 수준의 선형 광학 계산 모델이 존재하는지 조사하는 것.
• 세 개 이상의 모드(m ≥ 3)에 대해 두 모드 광학 게이트가 SU(m) 또는 SO(m)의 조밀한 부분군을 생성하는지 분류하는 것.
• 선형 광학에서의 보편성이 조정 가능한 구성 요소에 의존하는지, 아니면 비자명한 비스플리터 하나만으로도 충분한지 규명하는 것.

제안 방법

• 비자명한 두 모드 유니터리 게이트(행렬식이 -1)가 m ≥ 3일 때 SU(m)를 조밀하게 생성함을 증명하기 위해 이러한 게이트의 곱의 트레이스를 분석하고, 그들이 리 대수를 생성함을 보여줌.
• 표현 이론과 SO(3)의 닫힌 부분군의 분류를 사용하여, 행렬식이 +1인 비자명한 실수 두 모드 게이트도 SO(3)를 생성함을 보이며, 따라서 m ≥ 3일 때 SO(m)를 생성함.
• Reck 등의 분해 결과를 적용하여, 로테이션 행렬의 곱 분해를 통해 보편성을 세 개에서 m ≥ 3 모드로 확장함.
• 게이트 곱의 트레이스를 분석하여 실수 또는 허수인 경우를 구분하고, 비스플리터의 비자명성을 이용해 비자명한 부분군을 배제함.
• 단위성과 위상 자유도를 활용하여, 임의의 비자명한 두 모드 게이트를 위상 쉬프터와 조합함으로써 행렬식이 -1인 비스플리터로 변환함으로써 결과를 일반화함.
• 리 군 이론을 활용하여, 비자명한 두 모드 게이트가 SU(m) 또는 SO(m)의 조밀한 부분군을 생성함을 보이며, 유한군 또는 U(1)-유사 부분군이 존재하지 않음을 배제함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m ≥ 3 모드에서 임의의 비자명한 두 모드 비스플리터(행렬식이 -1)가 단일 광자 부분공간에서 전체 SU(m) 군을 조밀하게 생성할 수 있는가?
• RQ2 큐비트 모델에서 클리포드 군과 유사하게, 보편적이지도 않고 비자명하지도 않은 게이트 집합이 선형 광학에서 존재하는가?
• RQ3 광학 게이트에 존재하는 위상 요소가 큐비트 양자 회로에서와 유사한 이분법을 방해하는가?
• RQ4 보편성 결과를 행렬식이 -1이 아닌 두 모드 게이트로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이분법을 k ≥ 3 모드 광학 게이트로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 행렬식이 -1인 비자명한 두 모드 비스플리터는 m ≥ 3일 때 모든 경우에 SU(m)를 조밀하게 생성함을 증명하여, 조정 가능한 구성 요소가 필요 없이 보편성을 확보함.
• 모든 두 모드 실수 광학 게이트에 대해 이 결과가 적용됨: 비자명하면 m ≥ 3일 때 SO(m)를 생성함, 행렬식이 +1이어도 마찬가지.
• 논문은 엄격한 이분법을 확립함: 비스플리터와 위상 쉬프터의 집합은 비자명한 부분군을 생성하거나 선형 광학에서 보편적이며, 중간 수준의 모델은 존재하지 않음.
• 행렬식에 관계없이 비자명한 두 모드 유니터리 게이트는 위상 조합을 통해 비스플리터로 변환 가능하므로, 위상 쉬프터와 조합하면 보편적임.
• 유한군 또는 아벨 부분군을 배제하기 위해 게이트 곱의 트레이스 분석에 의존하며, 생성된 군이 반드시 SU(m) 또는 SO(m)에 조밀하게 포함됨을 보여줌.
• 이 결과는 이러한 시스템에 대해 효율적인 고전적 시뮬레이션은 비자명하지 않은 한 불가능하며, 보손 샘플링 및 관련 작업의 난이도를 뒷받침함.