[논문 리뷰] Generators of the cohomology ring of moduli spaces of sheaves on symplectic surfaces

Eyal Markman|ArXiv.org|2000. 09. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 표면, 특히 K3 표면 위의 층의 모듈리 공간의 코homology 링이 유니버설 층의 체른 클래스에 의해 생성됨을 확립한다. M×M의 대각선 클래스를 유니버설 확장 층 클래스를 통해 표현함으로써, n→∞의 극한에서 안정적인 코homology 링을 이루는 일관된 생성자 집합을 도출한다. 이는 힐베르트 스킴과 히긴스(bundle) 모듈리 공간에 응용된다.

ABSTRACT

Let M be a moduli space of stable sheaves on a K3 or Abelian surface S. We express the class of the diagonal in the cartesian square of M in terms of the Chern classes of a universal sheaf. Consequently, we obtain generators of the cohomology ring of M. When S is a K3 and M is the Hilbert scheme of length n subschemes, this set of generators is sufficiently small in the sense that there aren't any relations among them in the stable cohomology ring. When S is the cotangent bundle of a Riemann surface, we recover the result of T. Hausel and M. Thaddeus: The cohomology ring of the moduli spaces of Higgs bundles is generated by the universal classes.

연구 동기 및 목표

• K3 및 아벨 표면 위의 안정 층 모듈리 공간의 유리수 코homology 링에 대한 명시적 생성자를 결정하는 것.
• K3 표면 S의 n개 점의 힐베르트 스킴 S^{[n]}에 대해 모든 n에 대해 유효한 일관된 생성자 구성법을 확립하는 것.
• 가중 다항식 링에서 H^*(S^{[n]}, ℚ)로의 유도된 맵이 차수 ≤ n에서 단사임을 보여, 안정적인 코homology 링을 정의하는 것.
• 리만 표면의 코탄젠트(bundle)로의 특수화를 통해 기존의 히긴스(bundle) 모듈리 공간 결과를 복원하는 것.
• 유니버설 층 체른 클래스를 통한 단순화된 모노드로미 연산자 공식 제공 — 유도적 자동동형에 관련됨.

제안 방법

• M×M에서의 대각선 클래스를 M×S 위의 유니버설 층의 당김 간의 Ext 층의 유도 쌍대의 최고 체른 클래스로 표현한다.
• Ext²가 식별적으로 0일 경우 포르테우스의 공식을 적용하여 대각선 클래스를 유니버설 Ext 클래스의 c_m로 환원한다.
• S^{[n]}×S 위의 유니버설 층의 체른 클래스로서 H^*(S^{[n]}, ℚ)의 유니버설 생성자 집합을 구성한다.
• 무한 개의 변수를 가진 가중 다항식 링에서 H^*(S^{[n]}, ℚ)로의 계수를 갖는 군의 준동형 h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ)을 정의한다.
• h의 차수 ≤ n에서의 단사성을 증명함으로써, n→∞의 극한에서 R^{[∞]}가 안정적인 코homology 링임을 확인한다.
• 이 구성법을 적용하여, S를 리만 표면의 코탄젠트(bundle)로 특수화함으로써 히긴스(bundle) 모듈리 공간에 관한 결과를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 표면 위의 안정 층 모듈리 공간의 코homology 링의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 M×M에서의 대각선 클래스는 M×S 위의 유니버설 층의 체른 클래스로 표현될 수 있는가?
• RQ3 유니버설 체른 클래스는 이러한 모듈리 공간의 전체 유리수 코homology 링을 생성하는 데 충분한가?
• RQ4 힐베르트 스킴 S^{[n]}에 대해 n→∞일 때의 안정적인 코homology 링의 구조는 무엇인가?
• RQ5 K3 표면 위의 무카이 래티스의 등장사상은 모듈리 공간의 코homology 링의 자동동형으로 어떻게 올라가는가?

주요 결과

• M×M에서의 대각선 클래스는 유니버설 층 당김 간의 Ext 층의 유도 쌍대의 c_m로 주어지며, 이는 코homology 링 생성자에 대한 공식을 도출한다.
• 힐베르트 스킴 S^{[n]}에 대해, H^*(S^{[n]}, ℚ)는 H^2와 차수 4의 23차원 부분공간 B_4''에 의해 생성되며, 링의 구조는 한 상수를 제외하고 결정된다.
• h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ)의 맵은 차수 ≤ n에서 단사적이며, 이는 n→∞의 극한에서 R^{[∞]}가 안정적인 코homology 링임을 확인한다.
• S^{[3]}의 코homology 링은 베티 수 b_4=299, b_6=2554, b_8=22450이며, H^6는 uH^2 ⊕ V(3) ⊕ 1 ⊕ ∧^2 H^2로 분해된다.
• H^2⊗B_4'' → H^6의 곱은 자명한 부분과 반대칭 부분으로 단사적으로 사상되며, 삼중 곱 Sym^3(B_4'') → H^{12}는 0이 되어 링의 구조가 한 상수를 제외하고 고정된다.
• 고정된 짝수 k에 대해, b_k(S^{[n]})는 n≥k에서 안정화되며, b_n(S^{[n]})−b_n(S^{[n−2]})=24 (짝수 n≥4일 때)이며, 이는 H^*(S)와 B_n의 차원과 일치한다.