[논문 리뷰] Generic approximation of functions by their Padé approximants

Grigorios Fournodavlos, Nestoridis, V.|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 01.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복소평면의 임의의 열린 집합에서 정칙인 일반적인 함수들이 근사자료의 차수에 대한 약한 성장 조건 하에서 그들의 패드 근사자에 의해 근사 가능하다는 것을 증명한다. 바이어의 범주 정리에 기반하여, 임의의 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$에 대해, $A^\infty(\Omega)$에 속하는 함수들 중 잔여집합(즉, 일반적인 집합)이 존재하며, 이들은 $p_n, q_n \to \infty$일 때 모든 중심 $\zeta \in \Omega$에서 자신의 패드 근사자 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$에 의해 동시에 근사된다. 이는 이전의 전체 함수에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Generic approximation of entire functions by their Padé approximants has been achieved in the past (\cite{3}). In the present article we obtain generic approximation of holomorphic functions on arbitrary open sets by sequences of their Padé approximants. Similar results hold with functions smooth on the boundary of their domain of definition. In addition, the approximation is valid simultaneously with respect to all centers of expansion.

연구 동기 및 목표

• 복소평면의 임의의 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$에서 정칙 함수에 대한 패드 근사자의 일반적 근사화를 전체 함수에 대한 기존 결과로부터 확장한다.
• 모든 중심 $\zeta \in \Omega$에 대해 패드 근사자가 동시에 수렴하도록 보장한다.
• $\overline{\Omega}$의 여집합이 연결되어 있을 경우, $A^\infty(\Omega)$에 속하는 함수들, 즉 경계까지 매끄러운 함수들로 결과를 확장한다.
• $A^\infty(\Omega)$의 프레셰 공간에서 이러한 근사가 가능한 함수들의 집합이 잔여집합(일반적 집합)임을 증명한다.

제안 방법

• 증명은 프레셰 공간 $H(\Omega)$와 $A^\infty(\Omega)$에 바이어의 범주 정리를 적용함으로써 이루어진다.
• 저자들은 패드 근사자가 컴acts 집합 $K$와 중심 집합 $L$에서 차수 $s$까지 균일 수렴하는 함수들의 집합 $E^\infty(\Omega, K, L, s, (p,q))$를 정의한다.
• 웨이어스트라스 근사 정리와 극이 제어된 유리함수의 변형을 이용하여, 이러한 집합들이 $A^\infty(\Omega)$에서 열려 있고 조밀하다는 것을 보인다.
• 이러한 집합들의 $s$에 대한 교집합이 $(p,q)$에 대한 합집합의 교집합이 $G_\delta$이면서 조밀한 집합임을 보여, 근사의 일반성(잔여성)을 확립한다.
• 패드 근사자 $[p/q]_{f,\zeta}$의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 헨켈 행렬식 조건을 사용한다.
• 이 방법은 $H(\Omega)$와 $A^\infty(\Omega)$ 모두에 적용되며, 후자의 경우 $\overline{\Omega}$의 여집합이 연결되어 있어야 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소평면의 임의의 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$에서 정칙 함수의 패드 근사자가 일반적으로 수렴함을 보일 수 있는가?
• RQ2 모든 중심 $\zeta \in \Omega$에서 패드 근사자가 동시에 수렴하도록 할 수 있는가?
• RQ3 적절한 위상 조건 하에서, 경계까지 매끄러운 함수들, 즉 $A^\infty(\Omega)$에 속하는 함수들로 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 $p_n, q_n$의 차수에 어떤 조건이 있어야 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$가 컴acts 위에서 $f$로 균일 수렴하는가?

주요 결과

• 모든 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$에 대해, $A^\infty(\Omega)$에 속하는 함수들 중 잔여집합이 존재하며, 이들은 $p_n, q_n \to \infty$일 때 모든 중심 $\zeta \in \Omega$에서 자신의 패드 근사자 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$에 의해 동시에 근사된다.
• 이러한 함수들의 집합은 $A^\infty(\Omega)$에서 $G_\delta$이면서 조밀하므로, 위상적으로 일반적임을 의미한다.
• 함수 $f$가 $\overline{\Omega}$에서 매끄럽고 $\mathbb{C} \cup \infty \setminus \overline{\Omega}$가 연결되어 있을 경우 결과가 성립한다.
• 증명은 전체 함수의 경우 $p_n \to \infty$라는 조건만으로도 일반적 근사가 가능하다는 것을 보여, 이전 결과를 강화한다.
• 수렴은 $\overline{\Omega}$의 컴acts 부분집합에서 균일하며, 임의의 유한 차수까지의 도함수들에 대해서도 성립한다.
• 이 방법은 $H(\Omega)$와 $A^\infty(\Omega)$ 모두에 적용되며, 후자의 경우 $\overline{\Omega}$의 여집합이 연결되어 있어야 한다.