[논문 리뷰] Generic linear perturbations

Shunsuke Ichiki|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 12.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 매핑을 ℝᵐ의 부분다양체에서 ℝˡ로 하는 경우, Mather의 일반적인 사영 이론을 일반화한다. 선형 편향을 도입하여 매끄러운 매핑의 일반적인 선형 편향을 제시하고, 거의 모든 이러한 편향이 모odular 부분다양체에 대해 비틀림을 이루는 매핑을 유도함을 증명한다. 이는 고전적인 모스 함수, 우수한 매핑, 안정성 결과를 확장한다. 주요 기여는 선형 편향 하에서 강력한 비틀림 결과를 도출한 것으로, 일반화된 거리 제곱 매핑과 톰-보드먼 다양체에 적용 가능하다.

ABSTRACT

In his celebrated paper "Generic projections", John Mather has shown that almost all linear projections from a submanifold of a vector space into a subspace are transverse with respect to a given modular submanifold. In this paper, an improvement of Mather's result is stated. Namely, we show that almost all linear perturbations of a smooth mapping from a submanifold of $\mathbb{R}^m$ into $\mathbb{R}^\ell$ yield a transverse mapping with respect to a given modular submanifold. Moreover, applications of this result are given.

연구 동기 및 목표

• Mather의 고전적 결과인 일반적 사영을 일반적인 선형 편향으로 대체하여, 매끄러운 매핑의 일반적 사영 이론을 확장한다.
• 편향된 매핑이 모odular 부분다양체(톰-보드먼 다양체 포함)에 대해 비틀림을 이루는지를 확립한다.
• 일반적인 선형 편향이 국소적으로 무한소 안정성 또는 안정성 매핑을 유도하는 조건을 제공한다.
• 주요 결과를 일반화된 거리 제곱 매핑에 적용하여, 좋은 차원 범위에서 그들의 일반적 안정성을 증명한다.

제안 방법

• 편향된 매핑 $ F_\pi = F + \pi $ 를 도입한다. 여기서 $ \pi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ 는 매끄러운 매핑 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $ 에 작용하는 선형 변환으로서 편향으로서 기능한다.
• 편향을 매개변수화하기 위해 공간 $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) \cong (\mathbb{R}^m)^\ell $ 을 사용하고, 측도 이론적 접근을 통해 거의 모든 편향이 원하는 성질을 만족함을 보인다.
• 매개변수 비틀림 정리(Parametric transversality theorem)를 적용하여, 일반적인 $ \pi $ 에 대해 임의의 모odular 부분다양체 $ W \subset {}_s J^r(N, \mathbb{R}^\ell) $ 에 대해 임계확장 $ {}_s j^r(F_\pi \circ f) $ 가 비틀림을 이룬다는 것을 보인다.
• 측도 영집합을 유지하고 편향 하에서 비틀림을 보존하기 위해 $ (\mathbb{R}^m)^\ell $ 에서 $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ 로의 미분동형사상 $ \psi $ 를 구성한다.
• 주요 결과를 일반화된 거리 제곱 매핑 $ G_{(p,A)}(x) = \sum_{j=1}^m a_{ij}x_j^2 - 2\sum_{j=1}^m a_{ij}p_{ij}x_j $ 에 적용하여, 그들의 일반적 안정성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 선형 편향이 모odular 부분다양체에 대해 비틀림을 이루는가?
• RQ2 이 편향 프레임워크는 모스 함수와 우수한 매핑에 대한 Mather의 결과를 더 넓은 매핑 클래스로 확장하는가?
• RQ3 일반화된 거리 제곱 매핑의 일반적 편향이 국소적으로 무한소 안정성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 선형 편향 하에서 임계확장의 비틀림 성질은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 매끄러운 임bedding $ f: N \to \mathbb{R}^m $ 과 매끄러운 매핑 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $ 에 대해, 일반적인 선형 편향 $ F_\pi = F + \pi $ 는 매핑 $ F_\pi \circ f $ 가 주어진 모odular 부분다양체에 대해 비틀림을 이룬다.
• $ (n,\ell) = (n,1) $ 의 경우, 일반적인 편향은 $ N $ 에서 모스 함수를 유도한다.
• $ (n,\ell) = (2,2) $ 의 경우, 일반적인 편향은 $ \mathbb{R}^2 $ 로의 우수한 매핑을 유도한다.
• $ (n,\ell) = (2,3) $ 의 경우, 일반적인 편향의 상은 정상적인 교차점과 핀치 포인트만을 특이점으로 갖는다.
• $ (n,\ell) $ 가 좋은 차원 범위에 속하면, 일반적인 편향은 국소적으로 무한소 안정성 매핑을 유도한다; $ N $ 이 컴act이면 매핑은 안정하다.
• 일반화된 거리 제곱 매핑 $ G_{(p,A)} $ 에 대해, $ (m,\ell) $ 가 좋은 차원이면, 중심들의 일반적 선택 $ p \in (\mathbb{R}^m)^\ell $ 은 국소적으로 무한소 안정성 매핑을 유도한다.