[논문 리뷰] Generic Pseudogroups on (C,0) and the Topology of Leaves

Jean-François Mattéi, Julio C. Rebelo외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 0 ∈ ℂ 를 고정하는 유흡근 미분형 사상들로 생성된 일반적인 위상군이, 공轭류가 고정되어 있을지라도 순환군들의 자유곱임을 증명한다. 이 결과는 일반적인 노름형 유흡근 초등분할을 가진 싱귤러 유흡근 분할에서, 단지 가 SCHLÄFLI 수만큼의 리브가 단순히 연결되지 않음을 시사하며, 이 집합은 무한하다—이것은 오랫동안 미해결이었던 이러한 분할에 대한 위상학적 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We show that generically a pseudogroup generated by holomorphic diffeomorphisms defined about $0 \in \mathbb{C}$ is free in the sense of pseudogroups even if the class of conjugacy of the generators is fixed. This result has a number of consequences on the topology of leaves for a (singular) holomorphic foliation defined on a neighborhood of an invariant curve. In particular in the classical and simplest case arising from local foliations possessing a unique separatrix that is given by a cusp of the form $\{y^2-x^{2k+1}=0\}$, our results allow us to settle the problem of showing that a generic foliation possesses only countably many non-simply connected leaves and that this countable set is, indeed, infinite.

연구 동기 및 목표

• 특이 유흡근 분할에서 쌍곡형 분리자 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 를 가진 분할의 리브 위상에 대한 오랫동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 분리자 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 를 가진 일반적인 노름형 분할에서, 단지 가산 수의 리브만 단순히 연결되지 않음을 보여주기 위해.
• 일반 조건 하에서, 단순히 연결되지 않은 리브의 이 countable 집합이 무한함을 확립하기 위해.
• 일반적으로 0 ∈ ℂ 에서 유흡근 미분형 사상들로 생성된 위상군이, 공轭류가 유지되더라도 자유임을 증명하기 위해.
• 일반적인 위상군 작용에서 상호소거된 궤도를 가진 무한히 많은 쌍곡형 고정점의 존재를 보여주기 위해.

제안 방법

• Diff(ℂ,0) 위의 해석적 위상과 Baire 성질을 사용하여 Gδ-稠집합을 통해 일반성 정의하기.
• 항등사상에 가까운 미분형 사상에 의한 생성자의 공轭화를 통해 공轭류를 유지하면서 생성된 위상군의 자유성 확보하기.
• 일반성 결과(정리 B)의 적용으로, 변환된 미분형 사상들로 생성된 위상군이 원래 순환군들의 자유곱과 동형임을 보여주기.
• 위상군 원소들이 어떤 열린 부분집합에서 항등사상과 일치할 경우 전체 정의역에서 식별적으로 영이 되는 근방 V ⊂ ℂ 의 구성.
• 리브에서의 홀로노미 맵과 고리의 호모토피를 이용해 디스크에서의 비항등 홀로노미를 통해 비자명한 위상을 탐지하기.
• 원래의 것과 N차수까지 접하는 일반적인 1-형식으로 분할을 변형하여 A²ᵏ⁺¹ 특이점 유형을 유지하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 노름형 유흡근 분할에서 쌍곡형 분리자 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 를 가진 분할의 리브 위상은 완전히 특징지을 수 있는가?
• RQ2 이러한 분할에서 단순히 연결되지 않은 리브의 집합은 가산적인가, 그리고 무한한가?
• RQ3 일반적인 쌍곡형 분할의 홀로노미 위상군은 서로소 궤도를 가진 무한히 많은 쌍곡형 고정점을 포함하는가?
• RQ4 공轭류가 유지되면서도 유흡근 미분형 사상들로 생성된 위상군의 자유성은 달성 가능한가?
• RQ5 해석적 위상에서 일반적인 공轭화가 자유 위상군의 구조를 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반적인 노름형 분할에서 분리자 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} 를 가진 경우, 단지 가산 수의 리브만 단순히 연결되지 않는다.
• 이 가산 집합의 단순히 연결되지 않은 리브는 무한하므로, 분할 이론에서 고전적인 열린 문제를 해결한다.
• 일반적인 경우, 홀로노미 맵들로 생성된 위상군은 생성자의 공轭류가 고정되어 있을지라도 순환군들의 자유곱과 동형이다.
• 모든 비어 있지 않은 열린 부분집합에서 항등사상과 일치하는 위상군 원소는 전체 정의역에서 영이 되는 균일한 근방 V ⊂ ℂ 가 존재한다.
• V 내부에 있는 무한히 많은 점들이 위상군 원소의 쌍곡형 고정점이며, 위상군 작용 하에서 상호소거된 궤도를 가진다.
• 리브에서 비자명한 고리에 대응하는 홀로노미 맵은 g²와 fᵏ⁺¹ 의 단어로 호모토피되지 않을 경우 어떤 구성요소에서 비항등이 되며, 이는 비자명한 위상을 시사한다.