[논문 리뷰] Generic Transversality of Minimal Submanifolds and Generic Regularity of Two-Dimensional Area-Minimizing Integral Currents

Brian White|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 위의 일반적인 등각 계량에서 모든 단순 최소 임베딩이 임의의 고정된 부분다양체와 횡단하며 스스로 횡단하고, 2차원 최소 면적 적분 전류 또는 2로 나눈 모듈로 평탄한 체인의 지지부는 부드럽게 임베딩된 최소 표면임을 증명한다. 이러한 결과들은 바이어르 카테고리 추론과 유한 집합에서 주어진 값으로 조절되는 조화 함수에 관한 PDE 정리에 기반하며, 이를 주어진 평균 곡률 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Suppose that $N$ is a smooth manifold with a smooth Riemannian metric $g_0$, and that $Γ$ is a smooth submanifold of $N$. This paper proves that for a generic (in the sense of Baire category) smooth metric $g$ conformal to $g_0$, if $F$ is any simple $g$-minimal immersion of a closed manifold into N, then $F$ is transverse to $Γ$ and $F$ is self-transverse. The theorem remains true with "transverse" and "self-transverse" replaced by "strongly transverse" and "strongly self-transverse". The theorem also holds for hypersurfaces of constant mean curvature or, more generally, of prescribed mean curvature. The paper also proves that for a generic ambient metric, every $2$-dimensional surface (integral current or flat chain mod $2$) without boundary that minimizes area in its homology class has support equal to a smoothly embedded minimal surface.

연구 동기 및 목표

• 등각 계량 변형 하에서 고정된 부분다양체에 대한 최소 부분다양체의 일반 횡단성을 확립하기.
• 일반 계량이 2차원 최소 면적 적분 전류의 지지부가 부드럽게 임베딩된 표면임을 보장함을 증명하기.
• 이러한 결과들을 주어진 평균 곡률을 갖는 임베딩 및 2로 나눈 모듈로 평탄한 체인으로 확장하기.
• 최소 최대 이론의 기초를 다지기 위해 일반적인 특이점과 비횡단 교차의 부재를 보장하기.

제안 방법

• 비자명한 자비 필드를 갖는 계량이 부드러운 계량 공간에서 희박하다는 것을 보이기 위해 '뾰족한 계량 정리'를 사용하기.
• Lax 정리의 특수 케이스인 PDE 결과를 응용하여 유한 집합에서 주어진 값을 갖는 조화 함수를 구성하기.
• 정규 벡터장들을 통한 일련의 1파라미터 임베딩 가중치를 이용해 계량을 변형하고 이미지를 유지하면서 최소성을 보존하기.
• 컴actly 지지된 정규 벡터장의 변형을 보장하기 위해 룬게 유형의 근사법을 사용하기.
• 바이어르 카테고리에 의한 위상적 추론을 통해 비횡단 또는 비자기횡단 임베딩의 집합이 희박하다는 것을 보여주기.
• 강한 횡단성 정의를 사용해 교차점에서 단위 법선의 선형 독립성으로 횡단 조건을 환원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 등각 계량이 모든 단순 $g$-최소 임베딩이 고정된 부분다양체와 횡단하도록 보장하는가?
• RQ2 일반적인 계량이 2차원 최소 면적 적분 전류의 비횡단 자기 교차를 제거할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 계량 하에서 2차원 국소 최소 면적 평탄한 체인 mod 2의 지지부가 부드럽게 임베딩된 최소 표면인가?
• RQ4 이러한 결과들은 주어진 평균 곡률을 갖는 임베딩으로 확장되는가?
• RQ5 일반적인 계량 변형 하에서 최소 표면의 다중성 및 횡단성에 대한 일반적인 행동은 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 계량에 등각적인 일반적인 부드러운 계량에 대해, 모든 단순 $g$-최소 임베딩은 임의의 고정된 부드러운 부분다양체와 횡단한다.
• 일반적인 계량에 대해, 경계가 없는 모든 2차원 최소 면적 적분 전류의 지지부는 부드럽게 임베딩된 최소 표면과 일치한다.
• 2로 나눈 모듈로 평탄한 체인의 경우에도 동일한 결론이 성립한다: 국소 최소 면적 2전류는 다중성 1을 갖는 부드럽게 임베딩된 최소 표면이다.
• 강한 횡단성(교차점에서 단위 법선의 선형 독립성)은 일반적으로 최소 임베딩에 대해 성립한다.
• 최소 임베딩이 횡단하거나 자가횡단하지 않는 계량의 집합은 부드러운 계량 공간에서 희박하다.
• 결과는 일정 및 주어진 평균 곡률을 갖는 임베딩으로 확장되며, 유사한 일반적인 정칙성 결과를 얻는다.