[논문 리뷰] Genericity and Rigidity for Slow Entropy Transformations

Terrence Adams|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 극도로 느린 엔트로피 행동을 보이는 일반적이고 강성 있는 측도를 보존하는 변환의 존재를 확립한다: 일반적인 시스템은 임의의 초지수적 속도에서 무한대 상한 느린 엔트로피와 영상 하한 느린 엔트로피를 보이며, 강성 있고 약한 혼합 성질을 가진 시스템은 무한대 하한 느린 엔트로피를 달성할 수 있다. 이 결과는 강성 변환에 대해 양의 다항식 상한 느린 엔트로피가 존재하는지에 대한 열린 질문을 해결하며, 느린 엔트로피가 엔트로피 수렴 속도보다 엄격히 더 강력한 복잡도 측도임을 보이며, 상한 느린 엔트로피가 0이지만 임의의 비선형 수렴 속도를 가질 수 있음을 보여주는 명시적 구성도 제시한다.

ABSTRACT

The notion of slow entropy, both upper and lower slow entropy, was defined by Katok and Thouvenot as a more refined measure of complexity for dynamical systems, than the classical Kolmogorov-Sinai entropy. For any subexponential rate function $a_n(t)$, we prove there exists a generic class of invertible measure preserving systems such that the lower slow entropy is zero and the upper slow entropy is infinite. Also, given any subexponential rate $a_n(t)$, we show there exists a rigid, weak mixing, invertible system such that the lower slow entropy is infinite with respect to $a_n(t)$. This gives a general solution to a question on the existence of rigid transformations with positive polynomial upper slow entropy, Finally, we connect slow entropy with the notion of entropy covergence rate presented by Blume. In particular, we show slow entropy is a strictly stronger notion of complexity and give examples which have zero upper slow entropy, but also have an arbitrary sublinear positive entropy convergence rate.

연구 동기 및 목표

• KKW2020에서 제기된 질문 6.1.2를 해결하는 데 목적이 있다: 강성 변환 중에서 양의 다항식 상한 느린 엔트로피를 갖는 것이 가능한지 여부를 밝히는 것.
• 역행 가능하고 측도를 보존하는 시스템의 일반적 행동을 느린 엔트로피 관점에서 기술하며, 특히 무한대 상한 느린 엔트로피와 영상 하한 느린 엔트로피의 공존을 규명하는 것.
• 느린 엔트로피와 블룸의 엔트로피 수렴 속도 간의 관계를 명확히 하여, 느린 엔트로피가 엄격히 더 강력한 복잡도 측도임을 보이는 것.
• 임의의 초지수적 속도 함수에 대해 무한대 하한 느린 엔트로피를 갖는 강성 있고 약한 혼합 성질을 가진 시스템의 명시적 예를 제시하는 것.

제안 방법

• 임의의 발산하는 초지수적 속도 함수에 대해 상한 느린 엔트로피가 무한대이고 하한 느린 엔트로피가 0인 역행 가능 측도 보존 시스템의 조밀한 Gδ 부분집합을 구성한다.
• 느린 엔트로피 행동을 제어하기 위해 교차로 배치된 왼쪽 열(낮은 엔트로피)과 오른쪽 열(높은 엔트로피)의 구성 방식을 응용한 수정된 커팅-앤드-스택 기법을 사용한다.
• 2차 보렐-칸텔리 보조정리와 조건부 독립 추정을 적용하여 에르고딕성과 약한 혼합성을 유지하면서도 강성을 확보한다.
• 기호 동역학에서 정규화된 하밍 거리와 ε-구역을 사용하여 엔트로피 커버링 수를 정의하고, 분할 정렬을 통한 느린 엔트로피 분석을 수행한다.
• 느린 엔트로피와 블룸의 엔트로피 수렴 속도를 비교하기 위해 속도 함수 b_n(t) = 2^{t a_n}을 도입하며, 클래스 간의 엄격한 포함 관계를 증명한다.
• 분할 엔트로피 H(P_n)와 커버링 수 S_P(T,n,ε,δ)에 대한 측도 이론적 추정을 사용하여 느린 엔트로피의 渐近 bound를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강성 있고 약한 혼합 성질을 가진 역행 가능 측도 보존 변환 중에서 다항식 속도 함수 a_n(t) = n^t 에 대해 양의 상한 느린 엔트로피를 갖는 것이 가능한가?
• RQ2 역행 가능 측도 보존 시스템의 공간에서 일반적인 변환은 임의의 초지수적 속도에 대해 무한대 상한 느린 엔트로피와 영상 하한 느린 엔트로피를 갖는 것이 가능한가?
• RQ3 느린 엔트로피는 블룸의 엔트로피 수렴 속도와 어떻게 관련되어 있으며, 느린 엔트로피는 엄격히 더 강력한 복잡도 측도인가?
• RQ4 상한 느린 엔트로피가 0이지만 여전히 양의 임의의 비선형 엔트로피 수렴 속도를 보일 수 있는 변환이 존재할 수 있는가?
• RQ5 주어진 초지수적 속도 하에서 하한 느린 엔트로피가 무한대이거나 양수인 시스템에 대해 어떤 강성 수열이 실현 가능한가?

주요 결과

• 모든 초지수적 속도 함수 a_n(t)에 대해, M의 조밀한 Gδ 부분집합 G ⊂ M 이 존재하여, 모든 T ∈ G 는 a_n(t) 에 대해 무한대 상한 느린 엔트로피를 갖는다.
• 모든 발산하는 초지수적 속도 a_n(t) 에 대해, M의 조밀한 Gδ 부분집합 G ⊂ M 이 존재하여, 모든 T ∈ G 는 a_n(t) 에 대해 영상 하한 느린 엔트로피를 갖는다.
• 강성 있고 약한 혼합 성질을 가진 변환의 가속도 F ⊂ M 이 존재하여, 모든 초지수적 속도 a_n(t) 에 대해 어떤 T ∈ F 가 a_n(t) 에 대해 무한대 하한 느린 엔트로피를 갖는다.
• 느린 엔트로피는 엔트로피 수렴 속도보다 엄격히 더 강력하다: 상한 느린 엔트로피가 0이지만 임의의 양의 비선형 엔트로피 수렴 속도를 갖는 시스템이 존재한다.
• 클래스 G_{2^{ta_n}} 는 ES(a_n)의 진부분집합이며, 느린 엔트로피가 블룸의 수렴 속도로 감지할 수 없는 복잡도를 포착함을 보여준다.
• 수정된 커팅-앤드-스택을 통한 명시적 구성은 상한 느린 엔트로피가 0이지만 정규화된 엔트로피의 상한극한이 양수인 시스템을 제공하며, 복잡도 측도 간의 엄격한 계층관계를 확인한다.